Moltiplicazione: definizione generale e ruolo dello zero

In questo appunto troverai delle informazioni riguardanti lo svolgimento delle moltiplicazioni in tabella. E' presente, inoltre, un piccolo approfondimento sul ruolo del numero zero in quest'operazione.

La moltiplicazione: a cosa serve e quali sono le proprietà che la contraddistinguono

La moltiplicazione è un'operazione molto utilizzata in matematica: conoscere le sue proprietà consente di velocizzare lo sviluppo di equazioni ed espressioni, abbassando al contempo la probabilità di commettere degli errori.
La presenza di quest'operazione può essere evidenziata dall'utilizzo di diversi simboli.

In generale, i più utilizzati in matematica sono il punto

e il simbolo della croce

. In informatica, tuttavia, viene apprezzata anche un'altra opzione, che prevede l'utilizzo del simbolo asterisco

.

Il prodotto gode di alcune qualità, ossia:

• la proprietà distributiva rispetto alla somma. Ciò significa che la moltiplicazione di un valore per una somma di valori è pari alla somma dei prodotti tra un valore e i singoli addendi. In termini matematici, tale definizione può esser tradotta in questo modo:
  [math]a \cdot(c+b)=a \cdot c+ a\cdot b[/math]
• la proprietà commutativa, la quale afferma che invertendo l'ordine dei fattori il valore del prodotto non cambia, cioè
  [math]a \cdot b = b \cdot a[/math]
• la proprietà associativa. Essa sancisce che, in presenza di una moltiplicazione a più fattori, è possibile svolgere le operazioni di moltiplicazione in qualsiasi ordine senza cambiare il risultato
• la presenza degli elementi zero e uno, che conferiscono al prodotto delle caratteristiche particolari. Quest'aspetto verrà approfondito nei prossimi paragrafi

Come svolgere correttamente una moltiplicazione

La moltiplicazione è un'operazione che può essere effettuata tra:

• tra numeri concordi e discordi. Essi possono essere interi o frazionari
• tra monomi e polinomi, ossia quantità formate da una parte numerale e una parte numerica

Come effettuare una moltiplicazione tra frazioni e numeri interi concordi o discordi

Consideriamo questi esempi:

e

. In questo caso, il valore del prodotto in termini di valore assoluto - cioè trascurando i segni - non cambia ed è pari a

. In presenza di numeri relativi, tuttavia, è essenziale specificare il segno del risultato. Per definire quest'ultimo è necessario utilizzare la regola dei segni, secondo cui valgono le seguenti regole:

Se siamo in presenza di frazioni, bisogna prestare maggiore attenzione al calcolo del prodotto numerico. In quel caso, esso sarà dato dalla frazione cui numeratore è pari al prodotto tra numeratori e cui denominatore è pari al prodotto tra i denominatori. Ciò equivale a dire:

.

Come effettuare una moltiplicazione tra monomi

I monomi sono quantità caratterizzate dalla presenza di una parte numerica e da una parte letterale: entrambe sono coinvolte nelle moltiplicazioni. Le regole relative alla parte numerica corrispondono a quelle enunciate nel paragrafo precedente; per quanto riguarda la parte letterale, è necessario applicare le proprietà delle potenze. Ciò significa che:

• [math]a^0=1[/math]
• [math]a^1=a[/math]
• [math]a^2 \cdot a^3 = a^(2+3)= a^5[/math]
• [math](a^2)^3=a^6[/math]

Per cui:

.

La tabella della moltiplicazione nell'insieme N

Osservando la tabella notiamo che in ogni casella vi è un numero (ottenuto moltiplicando il 1° fattore
della colonna con il 2° fattore della riga principale).
Questo sta a significare che l'operazione della moltiplicazione ha sempre un risultato in

(è sempre possibile) con qualsiasi coppia di numeri naturali. Quest'ultimo insieme numerico comprende i valori numerici interi e non negativi.

In termini matematici, questo concetto può essere espresso come:

se

anche

.
Si dice anche che l'insieme

sia chiuso rispetto alla moltiplicazione (figura 2), oppure che l'operazione
moltiplicazione è interna all'insieme

.

Il ruolo dei termini nella moltiplicazione: il numero uno

Il risultato di una moltiplicazione dipende dal valore dei due fattori coinvolti. Nei prossimi paragrafi scopriremo quali effetti ha sul risultato la presenza del numero zero o del numero uno tra i fattori di un prodotto.

Consideriamo i seguenti esempi:

e

.
La proprietà commutativa della moltiplicazione ci assicura che le due operazioni precedenti sono equivalenti.
In simboli matematici possiamo ancora generalizzare, affermando che:

.

La moltiplicazione gode di una proprietà particolare: se uno dei due fattori è

il prodotto è uguale all'altro fattore. Per questo motivo, il numero

è anche detto l'elemento neutro della moltiplicazione.

Cosa accade quando il numero zero è uno dei fattori della moltiplicazione

Quando il numero uno è presente tra i fattori, il prodotto sarà pari al valore dell'altro fattore. Passiamo adesso all'analisi del numero zero.
Consideriamo il seguente esempio:

.

Secondo la teoria alla base della moltiplicazione, essa può essere svolta sommando tanti addendi uguali al primo quanti ne indica il secondo. Quindi la precedente operazione può essere effettuata sommando cinque volte il termine

, in questo modo:

.

Quindi posso scrivere sia

che

analogamente. Generalizzando mediante l'utilizzo dei simboli si può affermare che:

.
Dai risultati precedenti evince una nuova proprietà della moltiplicazione: se il prodotto di due fattori è uguale a zero se, e solo se, uno dei due fattori è uguale a zero (legge di annullamento del prodotto).

Esempi sullo svolgimento di moltiplicazioni aventi un termine nullo

Per ulteriori approfondimenti sulla moltiplicazione vedi anche qui