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Divisioni con la virgola


La divisione è un'operazione matematica che serve per dividere una quantità in tante quantità di valore uguale. E' quindi l'operazione inversa della moltiplicazione, che è un'addizione ripetuta, e si usa quando si devono unire più quantità dello stesso valore.

Per poter effettuare una divisione è necessario conoscere molto bene altre due operazioni: la moltiplicazione (ed in particolar modo le tabelline) e la sottrazione.

Il numero che deve essere diviso prende il nome di dividendo. Il numero per cui dividere il dividendo prende il nome di divisore. Il risultato della divisione prende invece il nome di quoziente.

Con le divisioni semplici (dividendo di due cifre e divisore di una cifra) è molto facile arrivare al risultato. Ma quando sia il dividendo che il divisore cominciano ad assumere valori alti (e soprattutto composti da tante cifre), questa operazione può richiedere assai più impegno. Per poterla risolvere occorre utilizzare una procedura nota come "divisione in colonna", che è stata già pienamente illustrata in un appunto precedente. Di conseguenza nella presente trattazione si supporrà che tale procedimento sia ben noto.

Ma anche quando il procedimento della divisione in colonna risulta ben noto, lo studente può trovarsi in difficoltà se messo di fronte ad una categoria molto particolare di divisioni: le cosiddette divisioni con la virgola.

Possono verificarsi tre casi:
1) Il dividendo è con la virgola e il divisore è un numero intero.
2) Il dividendo è un numero intero e il divisore è con la virgola.
3) Sia il dividendo che il divisore sono con la virgola.

In questo appunto si illustrerà come procedere in ciascuno dei tre casi.

1) DIVIDENDO CON LA VIRGOLA E DIVISORE INTERO (Figura 1 in allegato):

Supponiamo di dover eseguire la seguente operazione:

[math]164,61 : 93 = ?[/math]

Per arrivare alla soluzione esiste in realtà più di un modo di ragionare.

Il primo è questo. Procediamo ad eseguire normalmente la divisione in colonna. Costruiremo dunque un "piccolo castello", nel quale il dividendo è disposto a sinistra e il divisore a destra. Il risultato dell'operazione andrà invece scritto nello spazio sotto il divisore. A questo punto procediamo come sappiamo fare.

Cominciamo innanzi tutto a "calare" la prima cifra del dividendo in modo tale da dividerla per il divisore. Poichè l'1 (prima cifra del dividendo) è inferiore a 93 (divisore), non possiamo calare l'1 da solo: la cifra da dividere deve essere sempre superiore o uguale al divisore. Lo caleremo allora insieme al 6. Ma poichè anche il 16 è inferiore a 93 (divisore), caleremo anche il 4. Divideremo dunque 164 per 93.

Il 164 sta nel 93 una volta. Infatti:

[math]93 \cdot 1 = 93 [/math]

[math]93 \cdot 2 = 186 [/math]

Scriveremo dunque un 1 nello spazio destinato al risultato.

Eseguiremo quindi l'operazione:

[math]164 - (93 \cdot 1) = 71 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" la prossima cifra, e cioè 6. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]716 : 93 [/math]

Ma poichè il 6 fa parte delle cifre decimali del dividendo (cioè si trova a destra della virgola), scriveremo il risultato di questa divisione facendola precedere dalla virgola.

Sappiamo che:


[math]93 \cdot 7 = 651 [/math]

[math]93 \cdot 8 = 744 [/math]

Prenderemo tra i due valori il primo (quello per difetto). Scriveremo dunque un 7 nello spazio destinato al risultato, accanto all'1 che avevamo già scritto. Ma le due cifre saranno separate da una virgola.

Poichè:

[math]93 \cdot 7 = 651 [/math]

...scriveremo questo risultato sotto il 717. Eseguiremo quindi l'operazione:
[math]716 - (93 \cdot 7) = 65 [/math]

Accanto a questo risultato, "caleremo" l'ultima cifra, e cioè 1. Si tratterà a questo punto di eseguire la seguente operazione:

[math]651 : 93 [/math]

Sappiamo che:

[math]93 \cdot 5 = 651 [/math]

A questo punto calcoleremo la differenza:
[math]651 - (93 \cdot 7) = 0[/math]

La nostra divisione è finita, in quanto non ci sono più cifre da "calare", cioè da dividere. Poichè il risultato dell'ultima sottrazione è pari a 0, la nostra divisione è in questo caso esatta.
Diremo allora che il risultato (o quoziente) della nostra divisione è 1,77.

Un altro ragionamento poteva essere il seguente.
Eseguiamo la divisione tra i due numeri come se la virgola non fosse presente, utilizzando sempre la tecnica della divisione in colonna.

[math]16461 : 93 = 177[/math]

Ma noi non dovevamo dividere 16461, bensì 164,61.
Poichè:

[math]164,61 = \frac{16461}{100}[/math]

...non dobbiamo fare altro che dividere per 100 anche il risultato ottenuto.

[math]\frac{177}{100}= 1,77[/math]

Dividendo intero e divisore con la virgola


Supponiamo di dover eseguire la seguente operazione:
[math]16461 : 9,3 = ?[/math]

Anche in questo caso per arrivare alla soluzione esiste più di un modo di ragionare.

Si sa ad esempio che la divisione gode della proprietà invariantiva: "Se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore della divisione per uno stesso numero, il risultato non cambia".

Possiamo dunque moltiplicare dividendo e divisore per 10, facendo in questo modo sparire la virgola e mantenendo inalterato il risultato:

[math]164610 : 93 = 1770[/math]

Per determinare la soluzione è sufficiente eseguire normalmente la divisione in colonna.

Un altro ragionamento può essere il seguente.
Eseguiamo la divisione tra i due numeri come se la virgola non fosse presente, utilizzando sempre la tecnica della divisione in colonna.

[math]16461 : 93 = 177[/math]

Ma noi non dovevamo dividere 16461 per 93 bensì per 9,3. Poiché:

[math]93 = 9,3 \cdot 10 [/math]

...non dobbiamo fare altro che moltiplicare per 10 anche il risultato ottenuto.

[math]177 \cdot 10 = 1770 [/math]

Dividendo e divisore con la virgola


Supponiamo di dover eseguire la seguente operazione:
[math]164,61 : 9,3 = ?[/math]

Anche in questo caso per arrivare alla soluzione esiste più di un modo di ragionare. Ma con ogni probabilità il più semplice da eseguire è sicuramente il seguente.

Abbiamo detto che la divisione gode della proprietà invariantiva: "Se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il divisore della divisione per uno stesso numero, il risultato non cambia".

Possiamo dunque moltiplicare dividendo e divisore per 10 (in altri casi per 100 o per 1000), facendo in questo modo sparire la virgola del divisore e mantenendo inalterato il risultato:

[math]1646,1: 93 = ?[/math]

Per determinare la soluzione è sufficiente eseguire normalmente la divisione in colonna. La tecnica sarà adesso quella illustrata al punto 1, a proposito della divisione tra dividendo con la virgola e divisore intero.

[math]1646,1: 93 = 17,7[/math]

Se siamo abbastanza ferrati in materia, possiamo in alternativa anche utilizzare le frazioni.

Sappiamo infatti che:

[math]164,61 = \frac{16461}{100}[/math]

[math]9,3 = \frac{93}{10}[/math]

Quindi possiamo scrivere:

[math]164,61 : 9,3 = \frac{16461}{100} : \frac{93}{10}[/math]

Ovvero:

[math]164,61 : 9,3 = \frac{16461}{100} \cdot \frac{10}{93}[/math]


[math]\frac{16461}{100} \cdot \frac{10}{93} = \frac{16461}{93} \cdot \frac{10}{100}[/math]

Eseguendo separatamente le due divisioni...

[math]\frac{177}{1} \cdot \frac{1}{10}= \frac{177}{10} = 17,7[/math]
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