Moto armonico semplice: formule

In questo appunto di Fisica tratteremo il moto armonico semplice attraverso le grandezze cinematiche che lo caratterizzano quali la velocità e l’accelerazione ed analizzeremo due applicazioni particolari di tale moto: l’oscillatore armonico elastico ed il pendolo semplice.

Il moto armonico in relazione al moto circolare uniforme

Si definisce moto armonico semplice, il moto oscillatorio di un punto materiale intorno ad un’origine, che solitamente viene fissata come origine del sistema di riferimento adottato per lo studio del moto. La caratteristica principale di ogni moto armonico, qualunque siano le forze che lo generano, è che si tratta di un moto periodico, ossia di un moto che dopo un periodo di tempo finito si ripete esattamente con le stesse caratteristiche all’infinito.
Per comprendere al meglio il moto armonico è necessario rapportarlo al moto circolare uniforme.
Consideriamo un punto materiale P che si muove di moto circolare uniforme su di una circonferenza di raggio R e centro O. Le grandezze caratteristiche di questo moto sono:

• Velocità tangenziale


• Velocità angolare


• Accelerazione centripeta


• Forza centripeta

La velocità tangenziale, costante in modulo, è espressa da:
vt = 2πR/T [m/s]
Con direzione tangente alla circonferenza in ogni suo punto e verso concorde a quello del moto
T è il periodo del moto, ossia il tempo necessario al punto materiale per percorrere una volta l’intera lunghezza della circonferenza.
La velocità angolare, costante in modulo direzione e verso, è espressa da:
ω = 2π/T [rad/s]
L’accelerazione centripeta, costante soltanto in modulo, è espressa da:
ac = v²/r = ω²r [m/s2]
con direzione radiale e verso diretto verso il centro.
La forza centripeta è quella che genera il moto, ha la direzione ed il verso dell’accelerazione centripeta, mentre al suo modulo si può arrivare mediante il Secondo Principio della Dinamica come riportato di seguito:
F= m∙a → Fc = m∙ v²/r = m∙ ω²r
Fatta questa doverosa premessa andiamo a studiare il moto del punto P’, proiezione ortogonale del punto P sul diametro AB della circonferenza di centro O e raggio R, fra gli estremi A e B del diametro stesso.
Prima di affrontare uno studio prettamente analitico del moto armonico, per una migliore comprensione analizziamo le sue caratteristiche qualitative.
Supponiamo che il punto P si muova in senso antiorario sulla circonferenza di raggio R, centro O e diametro di estremi A e B.
Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l’origine O nel centro della circonferenza, asse delle ascisse coincidente con la direzione del diametro AB e verso destra (x crescente in senso di lettura) ed infine asse delle ordinate con verso ascendente.
Assumiamo come istante iniziale del moto, t = 0s, quello in cui il punto P si trova a passare per l’estremo B (estremo destro) del diametro AB.
Se t = 0s il punto P e la sua proiezione ortogonale su AB, P’, si trovano nella stessa posizione, ossia nel punto di coordinate (0,R).
P avrà velocità tangenziale vt = 2πR/T e velocità angolare ω = 2π/T
P’ è istantaneamente fermo.
Se 0<t<T/4 il punto P si muove in senso antiorario ed il punto P’ si muove con velocità crescente verso il centro O della circonferenza, quindi con verso contrario a quello fissato come positivo sul sistema di riferimento. In questo tratto, poiché la velocità di P’ aumenta, la sua accelerazione è positiva.
Se t = T/4 il punto P si troverà nel punto di coordinate (0,R), la sua velocità tangenziale ed angolare non sono variate in modulo , mentre il punto P’ si trova nell’origine del sistema di riferimento (0,0) ed ha raggiunto velocità massima, quindi la sua accelerazione è nulla.
Se T/4<t<T/2, il punto P continua muoversi con le solite caratteristiche, mentre il punto P’ si muove con velocità decrescente verso l’estremo A (estremo sinistro) del diametro AB, quindi poiché decelera, la sua accelerazione sarà negativa.
Se t = T/2 P e P’ si trovano nella stessa posizione (-R,0). P continua a muoversi con le solite caratteristiche, mentre P’ è istantaneamente fermo, con accelerazione massima ed in questo istante inverte il suo moto.
Se T/2<t<(3/4)T il punto P si trova nel quarto quadrante del riferimento cartesiano, le sue caratteristiche del moto sono analoghe a quelle dei quadranti precedenti, mentre il punto P’, dopo aver invertito il suo moto, si muove con velocità crescente verso il centro della circonferenza O e del sistema di riferimento. La sua accelerazione è positiva poiché la sua velocità aumenta ed avendo invertito il moto, si muove nel verso positivo del sistema di riferimento fissato.
Se t = (3/4)T il punto P ha velocità vt = 2πR/T, uguale ed opposta a quella assunta nel punto di coordinate (0,R), e le sue coordinate sono (0,-R). Nello stesso istante il punto P’ si trova nell’origine (0,0), ha assunto velocità massima e la sua accelerazione è nulla.
Se (3/4)T<t<T il punto P prosegue il suo moto come negli altri quadranti, mentre il punto P’ si sposta verso l’estremo B del diametro con velocità decrescente e quindi accelerazione negativa.
Se t = T il punto P ed il punto P’ si troveranno di nuovo nell’estremo B di coordinate (R,0), la velocità di P’ è istantaneamente nulla, la sua accelerazione è massima e da questo istante in poi il moto si ripete esattamente con le stesse caratteristiche descritte sopra.
Dalla descrizione di questo fenomeno si capisce che il punto P’ si muove fra gli estremi A e B, oscillando fra questi due punti e mantenendo sempre le solite caratteristiche di moto: stessa velocità e stesa accelerazione.

Equazione oraria, velocità ed accelerazione del moto armonico

In base alle osservazioni fatte nel paragrafo precedente ricaviamo le funzioni che descrivono il moto armonico.
La prima fra queste è la legge oraria, che si spiega come varia lo spazio percorso dal punto P’ nel tempo.
La posizione del punto P’ sull’asse delle ascisse, fissato come abbiamo precisato sopra, è rappresentata dalla proiezione del punto P, che si muove sulla circonferenza di riferimento, su tale asse.
Tale lunghezza variabile si esprime come
x = R cosα
dove α è l’angolo che il raggio che individua P sulla circonferenza forma con l’asse orizzontale delle x. Poiché P si muove tale angolo varia nel tempo e tale variazione viene quantificata dalla velocità angolare ω = α/t.
Quindi
x = R cos(ωt)
più in generale, la precedente espressione diventa
x = R cos(ωt + φ)
dove
R = ampiezza del moto;
φ = fase iniziale, diversa da zero se si assume come istante iniziale un istante in cui l’angolo di partenza non è nullo;
ωt + φ = fase al tempo t
Dalla precedente legge oraria, si arriva alle espressioni delle funzioni che descrivono:
la velocità di P’
v = -ωR sen(ωt + φ)
dove il segno “-“ davanti tale espressione sta ad indicare che la velocità di P’ ha verso contrario a quello fissato come positivo sull’asse delle x per metà periodo e tornerà negativa dopo che P avrà percorso un angolo maggiore di un angolo piatto (terzo e quarto quadrante in cui cambia il segno della funzione seno);
la sua accelerazione
a = -ω²R cos(ωt + φ)
dove il segno “-“ continua ad avere il solito significato.
Il periodo di tale moto armonico assume la forma: T = 2π/ω
Queste tre funzioni saranno applicate allo studio di due casi particolari di moto armonico semplice.

Oscillatore armonico elastico

Supponiamo di avere una molla ideale, di lunghezza a riposo L0, appoggiata su di un piano perfettamente liscio ed orizzontale, la quale abbia un estremo fissato ad una parete e l’altro estremo libero. Si abbia anche una massa, m, che collegheremo all’estremo libero della molla.
Se tale massa m, viene semplicemente appoggiata all’estremo libero della molla, senza applicare alcuna forza di trazione p compressione, il sistema rimane in quiete e le uniche forze agenti sono il peso creato dalla massa e la reazione vincolare del piano di appoggio orizzontale che equilibra tale peso.
Fissiamo un sistema di riferimento avente origine O, in tale posizione di equilibrio ed asse orizzontale con la stessa direzione dell’asse della molla ed il verso rivolto a destra (x crescenti in senso di lettura).
Nella configurazione iniziale la molla ha deformazione nulla.
Applichiamo adesso alla massa una forza di trazione, F, orizzontale, che la sposti dalla posizione di equilibrio (posizione iniziale) ad un punto che dista dall’origine O una quantità pari ad Xo, chiamiamo tale punto A ed abbia coordinate A = (Xo,0).
La molla, opponendosi a tale forza F, che la sposta dalla sua posizione di equilibrio, applica a sua volta alla massa la forza elastica Fe, che per sua natura tende a riportarla nella configurazione indeformata.
Dallo studio del moto elastico si sa che tale forza elastica sarà pari a Fe= -k (Xo). Dove k è la costante elastica, che dipende dalla natura del materiale di cui è fatta la molla, mentre Xo è lo spostamento generato dalla prima forza F applicata.
Se in questa situazione si elimina la forza sollecitante F, a causa della forza elastica Fe (unica agente nella direzione del moto), si innesca un moto oscillatorio intorno all’origine del sistema di riferimento fissato, che è appunto un moto armonico semplice.
Se fissiamo come istante iniziale, t = 0s, l’istante in cui la massa m si trova in A = (Xo,0) notiamo che da tale posizione la massa parte da ferma (con accelerazione massima) e viene richiamata dalla molla verso l’origine O = (0,0); in questo tratto la velocità aumenta e la massa subisce una accelerazione. Nell’istante in cui passa per l’origine O, la velocità è massima e l’accelerazione è nulla.
Una volta oltrepassato O, la molla viene compressa dalla massa, quindi inverte il verso della forza Fe applicata su questa e tenderà a frenarla, fino al raggiungimento del punto di massima compressione, B = (-Xo,0), in cui la velocità sarà istantaneamente nulla e l’accelerazione di nuovo massima, ma con verso contrario a quella in A.
Da questo istante il moto della massa si inverte. La molla tramite la forza Fe, spingerà la massa m fino in O, accelerandola. Oltrepassata l’origine, il moto della massa m continuerà fino a tornare nel punto A = (Xo,0), ma nel tratto OA sarà decelerato, poichè la molla applicherà una forza Fe che si oppone al suo allungamento.
Dal punto A, il moto si ripete con le stesse identiche caratteristiche.
Analizziamole in particolare.
Dal Secondo Principio della Dinamica si ha che.
F = ma
Fe = -kX
Quindi
ma = -kX
a = (-kX)/m
Posto ω² = -k/m
per cui
ω = √(k/m)
si ottiene
a = ω²X
dove X = R cos(ωt + φ) [precedentemente descritta]
ed in questo caso particolare R = Xo.
Una volta ricavato ω, oltre all’espressione dell’accelerazione, si può arrivare a quella della legge oraria e della velocità, entrambe in funzione del tempo, in particolare si ha che:
X(t) = Xo cos(√(k/m) t + φ)
v(t) = -√(k/m) Xo sen(√(k/m) t + φ)
a(t) = -(k/m) Xo cos(√(k/m) t + φ)
Periodo del moto : T = 2π/√(k/m)

Pendolo semplice

Il pendolo semplice, chiamato anche pendolo matematico, è costituito da una massa m vincolata a muoversi lungo una circonferenza giacente in un piano verticale. Tale dispositivo può essere realizzato collegando la massa m ad un punto fisso O, mediante una fune flessibile, inestendibile e di massa trascurabile e di lunghezza L.
Nella configurazione di equilibrio tale sistema vede la tensione T della fune equilibrare il peso della massa m (entrambi verticali).
Se spostiamo la massa m dalla sua configurazione di equilibrio, facendo in modo che la fune continui ad essere tesa, il peso P della massa stessa non sarà più equilibrato dalla tensione della fune, per cui abbandonando il sistema in questa situazione si innesca un moto che risulta essere armonico.
Sia A la posizione iniziale di equilibrio e sia B la posizione di non equilibrio in cui viene spostata la massa per poter innescare il moto. Supponiamo che in questa posizione il filo formi con la verticale un angolo θ.
In questa configurazione, la forza che innescherà il moto, è la componente del peso tangente alla traiettoria circolare, che varia in funzione di θ, man mano che la massa scende. L’altra componente del peso, quella diretta lungo la direzione delle fune, è ininfluente ai fini del moto e sarà equilibrata dalla fune stessa; anche questa componente varia in funzione dell’angolo θ.
La massa m parte da ferma e scende accelerando sotto l’azione della componente del peso tangente alla traiettoria circolare. Giunta in A, la sua accelerazione è nulla e la sua velocità è massima; successivamente da A fino all’estremo opposto di oscillazione, che chiameremo C (simmetrico di B rispetto al diametro OA), decelera fino a fermarsi istantaneamente in C (dove l’accelerazione è massima).
Da C accelera fino ad A (punto in cui la velocità è di nuovo massima e l’accelerazione nulla) e poi decelera fino B (dove si ferma istantaneamente e l’accelerazione è massima), da questo istante in poi il moto si ripete con le stesse caratteristiche.
Pt =mg senθ è la componente del peso tangente alla traiettoria
Pp = mg cosθ è la componente del peso diretta come la fune
Se facciamo l’ipotesi che l’angolo θ sia molto piccolo (ipotesi delle piccole oscillazioni) l’arco di oscillazione della massa m risulta approssimabile allo spostamento orizzontale d, ossia sia ha
L senθ = d ≈ x = arco di circonferenza percorso dalla massa
quindi
senθ = s/L
Per il secondo Principio della Dinamica si ha che:
ma = mgx/L
quindi a = g/L
posto ω = √(g/L)
si ricavano le grandezze caratteristiche del moto
X(t) = Xo cos(√(g/L)t + φ)
v(t) = -√(g/L) Xo sen(√(g/L)t + φ)
a(t) = -(√(g/L) Xo cos(√(g/L)) t + φ)
dove Xo è l’ampiezza di oscillazione del pendolo.
Periodo del moto : T = 2π/√(g/L)
per cui il periodo del moto diventa
T = 2π /√(g/L)
Le considerazioni che possiamo fare su questo tipo di dispositivo che si muove di moto armonico sono le seguenti.
Vale la legge dell’isocronismo delle piccole oscillazioni, ossia il periodo T non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni.
Il periodo è indipendente dalla massa del pendolo, ma soltanto dalla lunghezza del filo e da g (accelerazione di gravità).
Il periodo è direttamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza ed inversamente proporzionale alla radice quadrata di g. Di conseguenza, se facessimo oscillare lo stesso pendolo sulla luna, dove l’accelerazione è minore che sulla Terra, si avrebbero oscillazioni più lente.

Per ulteriori approfondimenti sul moto armonico vedi anche qua