Esercizio svolto di meccanica sulla caduta di un corpo

Appunto di fisica in cui viene risolto un problema di fisica (meccanica) relativo alla caduta di un corpo da una certa altezza iniziale in più modi diversi.

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • La forza di gravità provoca la caduta di un corpo con un'accelerazione di 9,81 m/s² in assenza di attrito.
  • La velocità di caduta di un corpo non è costante, ma aumenta linearmente nel tempo con l'accelerazione di gravità.
  • Il teorema della conservazione dell'energia meccanica permette di calcolare la velocità di un corpo a diverse altezze durante la caduta.
  • La massa del corpo non influisce sul calcolo della velocità di caduta poiché si semplifica nelle equazioni di energia.
  • L'altezza finale di un corpo può essere determinata conoscendo la velocità a cui si muove, utilizzando il principio di conservazione dell'energia.

Nel seguente appunto presenteremo traccia e svolgimento di un problema di meccanica relativo alla caduta di un corpo. Difatti, quando trascuriamo l'attrito con l'aria, un corpo che si trova ad una certa altezza non nulla rispetto al suolo, è attratto dal centro della Terra da una forza di intensità non nulla chiamata forza di gravità. La presenza di questa forza fa sì che, per il secondo principio della dinamica, esso cada con un'accelerazione pari all'accelerazione di gravità, comunemente nota come

[math] g [/math]
e pari a
[math] 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
.

Indice

  1. Velocità di caduta di un corpo
  2. Traccia del problema
  3. Svolgimento parte 1
  4. Svolgimento parte 2

Velocità di caduta di un corpo

In questo paragrafo e nei successivi supporremo sempre di star trascurando la resistenza dell'aria. Se si trascura la resistenza dell'aria, un corpo in caduta da una certa altezza
[math] h [/math]
non ha velocità costante. Infatti, esso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, dove l'accelerazione del caso è
[math] g \sim 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
.
Il tempo di volo
[math] t_v [/math]
associato ad un corpo in caduta libera si può ricavare tramite la formula inversa della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. Difatti:
[math] s = \frac{1}{2}at^2 \rightarrow t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \rightarrow t_v = \sqrt{\frac{2h}{g}} [/math]
Dato che
[math] a = \frac{v}{t} [/math]
per definizione di accelerazione, è possibile calcolare la velocità in un certo istante
[math] t [/math]
tramite la formula:
[math] v_t = g \cdot t [/math]
In sintesi, la velocità di caduta di un corpo non è costante ma aumenta linearmente col tempo di volo relativo al corpo.
Per approfondimenti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, vedi anche qua

Traccia del problema

Un peso di massa
[math] 8,0 \text{kg} [/math]
è appeso a un'altezza di
[math] 10 \text{m} [/math]
dal suolo. Il filo che lo sostiene all'improvviso si rompe e il peso cade, in assenza di forze esterne.
  • Quanto vale la velocità acquistata quando si trova a
    [math]4,0 \text{m} [/math]
    dal suolo?
  • A che altezza si trova quando possiede una velocità di
    [math]6,0 \frac{\text{m}}{\text{s}}[/math]
    ?
forza_di_gravità

Svolgimento parte 1

Poniamo come livello zero dell'energia potenziale il pavimento; secondo il teorema della conservazione dell'energia meccanica, l'energia del peso nel punto di partenza (quando si trova ad un'altezza di
[math]10 \text{m} [/math]
) è uguale a quella nel punto di arrivo (all'altezza di
[math] 4,0 \text{m} [/math]
):

[math] E_i = E_f \to U_i + k_i = U_f + k_f [/math]

Sappiamo che in entrambi gli stadi il peso possiede energia potenziale gravitazionale, poiché si trova ad una determinata altezza. Tuttavia, nello stato iniziale esso è fermo, quindi non possiede energia cinetica (cioè

[math] k_i = 0 [/math]
):

[math] U_i = U_f + k_f \to mgh_i = 1/2 m v_f ^2 + mgh_f [/math]

Possiamo semplificare la massa (del resto è interessante notare che la massa non influisce sul risultato del problema, è un dato abbondante):

[math] gh_i = 1/2 v_f ^2 + gh_f [/math]

Ricaviamo ora la velocità:

[math] 2gh_i = v_f ^2 + 2gh_f \to v_f^2 = 2gh_i - 2gh_f[/math]

Estraendo la radice si ha quindi:

[math]v_f = \sqrt{2gh_i - 2gh_f} = \sqrt{2g (h_i - h_f)} [/math]

Determiniamo la velocità:

[math] v_f = \sqrt{2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot (10 m - 4,0 m )} \sim 10,84 m/s \sim 11 m/s [/math]

Vediamo ora un modo alternativo di svolgere la parte 1.
Quando il corpo si troverà ad un altezza di

[math] 4 \text{m} [/math]
rispetto al suolo, vorrà dire che avrà percorso una distanza verticale
[math] s = 6 \text{m}[/math]
.
Possiamo quindi calcolare il tempo di volo
[math] t_v [/math]
:
[math] t_v = \sqrt{\frac{2s}{g}} \sim 1,11 \text{s} [/math]
Ora possiamo trovare la velocità in quel punto utilizzando la definizione di accelerazione. Sappiamo che
[math] v_t = g \cdot t [/math]
, di conseguenza:
[math] v_t = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1,11 \text{s} \sim 10,89 m/s \sim 11 m/s [/math]

Svolgimento parte 2

Utilizzando ancora il teorema della conservazione dell'energia meccanica, possiamo determinare l'altezza del peso quando assume una velocità di
[math]6,0 m/s[/math]
.
forza_di_graivtà
Consideriamo quindi lo stato iniziale quello in cui si trova a
[math]10 \text{m}[/math]
dal suolo, e nel quale possiede solo energia potenziale.
Lo stato finale è quello in cui ha una velocità di
[math]6,0 m/s[/math]
e ha quindi energia cinetica, e, poiché si trova ad una determinata altezza, possiede anche energia potenziale:
[math] E_i = E_f \to U_i + k_i = U_f + k_f [/math]

Ricordando poi che

[math] U = mgh, K = \frac{1}{2}mv^2 [/math]
si ottiene:
[math] mgh_i = mgh_f + 1/2 m v_f ^2 [/math]
Possiamo semplificare la massa:
[math] gh_i = gh_f + 1/2 v_f ^2 [/math]
Ricaviamo l'altezza finale:

[math] 2gh_i = 2gh_f + v_f ^2 \to 2gh_f = 2gh_i - v_f^2 \to h_f = \frac{2gh_i - v_f^2}{2g} [/math]

Troviamo ora il valore dell'altezza:

[math] h_f = \frac{2 \cdot 9,8 m/s^2 \cdot 10m - (6,0 m/s)^2}{2 \cdot 9,8 m/s^2} \sim 8,16 m \sim 8,2 m [/math]

Per approfondimenti sul principio di conservazione dell'energia, vedi anche qua

Domande da interrogazione

  1. Qual è la velocità di caduta di un corpo quando si trova a 4 metri dal suolo?

    2. La velocità di caduta del corpo a 4 metri dal suolo è di circa 11 m/s, calcolata utilizzando il teorema della conservazione dell'energia meccanica e la formula del moto rettilineo uniformemente accelerato.

  2. Come si calcola il tempo di volo di un corpo in caduta libera?

    3. Il tempo di volo [math] t_v [/math] si calcola con la formula [math] t_v = \sqrt{\frac{2h}{g}} [/math], dove [math] h [/math] è l'altezza iniziale e [math] g [/math] è l'accelerazione di gravità.

  3. Qual è l'altezza del corpo quando possiede una velocità di 6,0 m/s?

    4. L'altezza del corpo quando possiede una velocità di 6,0 m/s è di circa 8,2 metri, determinata utilizzando il teorema della conservazione dell'energia meccanica.

  4. Perché la massa del corpo non influisce sul risultato del problema?

    5. La massa del corpo non influisce sul risultato perché si semplifica nelle equazioni del teorema della conservazione dell'energia meccanica, rendendola un dato abbondante.

  5. Qual è la formula per calcolare la velocità in un certo istante durante la caduta?

    6. La velocità in un certo istante [math] t [/math] si calcola con la formula [math] v_t = g \cdot t [/math], dove [math] g [/math] è l'accelerazione di gravità.

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