Esercizio svolto di meccanica sulla caduta di un corpo

Nel seguente appunto presenteremo traccia e svolgimento di un problema di meccanica relativo alla caduta di un corpo. Difatti, quando trascuriamo l'attrito con l'aria, un corpo che si trova ad una certa altezza non nulla rispetto al suolo, è attratto dal centro della Terra da una forza di intensità non nulla chiamata forza di gravità. La presenza di questa forza fa sì che, per il secondo principio della dinamica, esso cada con un'accelerazione pari all'accelerazione di gravità, comunemente nota come

e pari a

.

Velocità di caduta di un corpo

In questo paragrafo e nei successivi supporremo sempre di star trascurando la resistenza dell'aria.

Se si trascura la resistenza dell'aria, un corpo in caduta da una certa altezza

. Infatti, esso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, dove l'accelerazione del caso è

.
Il tempo di volo

associato ad un corpo in caduta libera si può ricavare tramite la formula inversa della legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. Difatti:

Dato che

per definizione di accelerazione, è possibile calcolare la velocità in un certo istante

tramite la formula:

In sintesi, la velocità di caduta di un corpo non è costante ma aumenta linearmente col tempo di volo relativo al corpo.
Per approfondimenti sul moto rettilineo uniformemente accelerato, vedi anche qua

Traccia del problema

Un peso di massa

è appeso a un'altezza di

dal suolo. Il filo che lo sostiene all'improvviso si rompe e il peso cade, in assenza di forze esterne.

• Quanto vale la velocità acquistata quando si trova a
  [math]4,0 \text{m} [/math]
  dal suolo?
• A che altezza si trova quando possiede una velocità di
  [math]6,0 \frac{\text{m}}{\text{s}}[/math]
  ?

Svolgimento parte 1

Poniamo come livello zero dell'energia potenziale il pavimento; secondo il teorema della conservazione dell'energia meccanica, l'energia del peso nel punto di partenza (quando si trova ad un'altezza di

Sappiamo che in entrambi gli stadi il peso possiede energia potenziale gravitazionale, poiché si trova ad una determinata altezza. Tuttavia, nello stato iniziale esso è fermo, quindi non possiede energia cinetica (cioè

Possiamo semplificare la massa (del resto è interessante notare che la massa non influisce sul risultato del problema, è un dato abbondante):

Ricaviamo ora la velocità:

Estraendo la radice si ha quindi:

Determiniamo la velocità:

Vediamo ora un modo alternativo di svolgere la parte 1.
Quando il corpo si troverà ad un altezza di

rispetto al suolo, vorrà dire che avrà percorso una distanza verticale

.
Possiamo quindi calcolare il tempo di volo

:

Ora possiamo trovare la velocità in quel punto utilizzando la definizione di accelerazione. Sappiamo che

, di conseguenza:

Svolgimento parte 2

, possiamo determinare l'altezza del peso quando assume una velocità di

.

Consideriamo quindi lo stato iniziale quello in cui si trova a

dal suolo, e nel quale possiede solo energia potenziale.
Lo stato finale è quello in cui ha una velocità di

e ha quindi energia cinetica, e, poiché si trova ad una determinata altezza, possiede anche energia potenziale:

Ricordando poi che

si ottiene:

Possiamo semplificare la massa:

Ricaviamo l'altezza finale:

Troviamo ora il valore dell'altezza:

Per approfondimenti sul principio di conservazione dell'energia, vedi anche qua