Costante di Planck e teoria dei quanti

In questo appunto di Fisica tratteremo la teoria di Planck sui quanti ed alcuni concetti annessi che sono stati alla base della fisica moderna come il concetto di corpo nero, di energia assorbita da un corpo investito da una radiazione, di quanto, di fotone ed effetto fotoelettrico.

Dualismo onda- corpuscolo

La prima grandissima innovazione della Fisica Moderna fu quella di attribuire a particelle elementari esistenti in natura (come l’elettrone) una doppia natura la quale prevede sia caratteristiche corpuscolari (descritte dalla Fisica Classica) sia caratteristiche ondulatorie (descritte con la teoria delle onde).
A tale fenomeno si attribuisce il nome di dualismo onda-corpuscolo ed è alla base di tutta la teoria quantistica sviluppata successivamente, di cui il fisico Max Planck ha posto le basi.

Corpo nero

Il concetto di corpo nero è stato utilizzato da Planck per la sua teoria.
Ogni corpo investito da una data radiazione (processo di trasmissione di energia per irraggiamento) può essere caratterizzato dalla frazione di energia assorbita da questa radiazione, ossia dal suo potere assorbente (quantità di energia assorbita da una radiazione come ad esempio può essere un raggio ultravioletto).

Tale energia assorbita dipende dalle caratteristiche della sorgente da cui parte la radiazione incidente e dalla frequenza della stessa radiazione.
Chiameremo corpo nero un sistema che assorbe totalmente tutta l’energia della radiazione che lo investe, a prescindere dalla frequenza di questa.
Ovviamente il concetto di corpo nero è una astrazione fatta in Fisica per avere un modello cui fare riferimento ed in natura non esistono corpi capaci di assorbire (tramite irraggiamento) completamente l’energia che viene loro irradiata.
Per capire meglio il concetto di corpo nero si può fare riferimento a due blocchi di uno stesso materiale e con le stesse dimensioni, rivestiti però con materiali diversi: il primo ricoperto in argento ed il secondo in nerofumo.
Se questi due corpi vengono contemporaneamente esposti alle radiazioni solari, si noterà che la temperatura di quello ricoperto in nero fumo salirà in modo molto più veloce di quello ricoperto in argento poiché, per le sue caratteristiche, assorbe più energia di quello ricoperto in argento.

Radiazione del corpo nero

Tutti i corpi esistenti in natura sono capaci di assorbire ed emettere energia allo stesso tempo, tramite onde elettromagnetiche. Se un corpo è un buon assorbitore è anche un buon emettitore e viceversa: in base a questa caratteristica, un corpo nero, assorbe tutta l’energia della radiazione incidente e contemporaneamente la riemette.
Due fisici austriaci, Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, arrivarono a stabilire che l’energia emessa per unità di superficie, nell’unità di tempo, è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta.
Ossia arrivarono alla seguente relazione:

Chiamata Legge di Stefan-Boltzmann
dove
σ è la costante universale di Stefan che assume lo stesso valore per tutti i corpi

che può essere scritta anche come segue:

dove
S è la superficie del corpo e Δt l’intervallo di tempo in cui avviene l’emissione.
Tale legge può essere estesa a tutti i corpi esistenti in natura nel modo seguente

dove si è introdotto il coefficiente e, detto emissività, legato alle caratteristiche della superficie emittente e tale che 0 L’emissività è definita come il rapporto tra l’energia che il corpo irradia e quella che irradierebbe se fosse un corpo nero.

Il problema del corpo nero o la nuvola nera

Il fisico Planck per sviluppare la sua teoria sui quanti partì dal problema del corpo nero.
Vediamo in che cosa consiste questa contraddizione ricavata sperimentalmente.
Sia dato un corpo e sia portato a temperature piuttosto elevate, in tali condizioni inizia ad emettere radiazioni di vario tipo (termiche, ultraviolette e luminose). Le caratteristiche della radiazione elettromagnetica emessa dal corpo in analisi dipendono dalla temperatura, dalla natura e dalla forma della sorgente da cui provengono le radiazioni.
Adesso prendiamo un corpo assimilabile ad un corpo nero, realizzato tramite una cavità le cui pareti vengono mantenute a temperatura uniforme e costante, tali da poter emettere ed assorbire radiazioni di qualsiasi lunghezza d’onda e si misuri l’energia caratteristica di ogni lunghezza d’onda.
In questo caso si nota che la radiazione emessa è indipendente dalla natura del materiale e dipende dalla temperatura.
Se si effettuano diverse misurazioni per diverse temperature delle pareti del corpo nero e si mettono in relazione la frequenza delle onde elettromagnetiche emesse con la rispettiva intensità di energia, si nota che l’intensità della radiazione emessa ha il seguente andamento:
aumenta con la frequenza, ν, partendo da valori nulli;
raggiunge un massimo per un dato valore della frequenza, che chiameremo

, è che assume valori maggiori per temperature più alte;
successivamente torna a decrescere per frequenze alte.
L’andamento che abbiamo ottenuto è in netto disaccordo con le leggi teoriche della diffusione che dovrebbero regolare tale fenomeno: secondo tali leggi l’intensità della radiazione solo per un breve tratto iniziale è in accordo con i dati sperimentali trovati, ma per frequenze crescenti, cresce indefinitamente distaccandosi totalmente dall’andamento trovato nelle misurazioni sperimentali.
Per tali motivi questo fenomeno mise in contraddizione le teorie della fisica classica.

La costante di Planck

Si consideri un corpo nero costituito da una cavità realizzata come descritto sopra.
Per studiare l’energia tra le varie frequenze delle radiazioni emesse, Planck posizionò al suo interno degli oscillatori atomici che irradiano ed assorbono energia il cui valore è dato da:
E = nhf
E = energia dell’oscillatore
n = numero naturale
f = frequenza della radiazione
Quindi al fine di ottenere un accordo fra le curve che rappresentano l’intensità della radiazione trovate sperimentalmente e quelle previste dalla teoria classica, Planck ipotizzò che l’energia di tali oscillatori, E, avesse solo valori discreti: ossia 0, hf, 2hf, 3hf, 4hf, 5hf,…,nhf
La sua ipotesi rivoluzionaria fu che la radiazione emessa dal corpo nero fosse suddivisibile in una serie discontinua di atti ad ognuno dei quali è associato una quantità fissa di energia (un pacchetto energetico) quantitativamente proporzionale alla frequenza della radiazione emessa.
Ossia, la quantità di energia emessa da una radiazione, non varia in maniera continua, ma per pacchi energetici fissi.
A tali pacchetti di energia lo stesso autore di questa teoria diede il nome di quanti.
In base a tale teoria un corpo nero può assorbire o emettere radiazioni solo per quantità finite e sempre uguali. Ogni pacchetto di energia è multiplo del prodotto fra una data costante e la frequenza della radiazione emessa o assorbita:
E = hν
h = costante di Planck

Tramite questa ipotesi Planck riuscì a stabilire un legame fra i risultati sperimentali e quelli teorici e riuscì a spazzare via la nuvola nera.

Effetto fotoelettrico

La teoria di Planck fu ampiamente ripresa da un giovane Albert Einstein il quale l’applicò alla studio della luce intesa come onda elettromagnetica di frequenza f e insieme di quanti energetici chiamati fotoni, ognuno avente energia:
E = hf.
Un fascio di luce di frequenza f è un flusso di particelle che porta una quantità di energia pari a hf.
Quando un fascio di luce colpisce una superficie metallica, ogni fotone cede energia ad un elettrone del metallo. Se tale energia è sufficientemente grande, sull’elettrone viene compiuto lavoro e questo può essere estratto dal metallo. Tale lavoro viene chiamato lavoro di estrazione e dipende dal metallo.
Per il principio di conservazione dell’energia Einstein arrivò alla seguente espressione:

dove

è l’energia cinetica massima impressa all’elettrone estratto nel caso in cui E ha un valore maggiore al lavoro di estrazione
W = lavoro di estrazione
La precedente espressione descrive l’effetto fotoelettrico.
Se E = hf = W si ha estrazione di elettroni, ma la loro energia cinetica è nulla.
Per ulteriori approfondimenti si consiglia il seguente link:
teoria dei quanti