Centro relativo, raggio principale di inerzia e rette coniugate

In questo appunto viene spiegato e descritto il centro relativo di un corpo, il raggio principale e le rette coniugate; per comprendere meglio tale elemento viene prima proposto un ripasso sul baricentro e sul momento d’inerzia.

Baricentro

Dato un generico triangolo è possibile tracciare un segmento particolare che prende il nome di mediana; la mediana è un segmento che ha come estremo un vertice del triangolo e che ha come secondo estremo il punto medio del lato opposto al vertice considerato (ricordiamo che il punto medio è il punto che si divide il lato in due parti uguali).
Dato che un triangolo è costituito da tre lati e da tre vertici, è possibile tracciare nel triangolo tre mediane, una che parte da ogni vertice del triangolo.
Il punto di intersezione delle tre mediane di un triangolo prende il nome di baricentro.
Il baricentro è un punto sempre interno al triangolo, cioè è contenuto nella porzione di spazio delimitata dai lati del triangolo.

Il baricentro è un punto molto importante anche nell’ambito della fisica in quanto un qualsiasi oggetto può essere approssimato come un punto nel quale è concentrata tutta la massa, tale punto corrisponde proprio al baricentro.

Nel caso di un triangolo è relativamente semplice individuare la posizione del baricentro tracciando le mediane relative ad ogni lato; nel caso di un corpo tridimensionale è molto più complesso individuare la posizione del baricentro.
Per ulteriori approfondimenti sul baricentro e sulle sue caratteristiche vedi anche qua

Momento di inerzia

Definito il punto che corrisponde al centro del sistema di riferimento, il momento di inerzia di un corpo puntiforme di massa m può essere calcolato attraverso la seguente espressione:

Dove I è il momento di inerzia, m è la massa del corpo puntiforme e r è la distanza del corpo dal centro del sistema di riferimento.
Ricordiamo che un corpo può essere considerato puntiforme se può essere approssimato ad un punto e se, attuando tale semplificazione, il comportamento del punto è lo stesso del corpo che si è considerato inizialmente.

Non sempre un corpo può essere considerato puntiforme, in tal caso un corpo può essere definito rigido se presi due punti qualunque, appartenenti al corpo, essi mantengono sempre la stessa distanza durante il moto.

In modo generale, ogni corpo può essere considerato come formato da un insieme di punti caratterizzati da una massa (

) e da una distanza dall'origine (

); in tal caso il momento d’inerzia può essere calcolato attraverso la sommatoria dei singoli momenti d’inerzia di ogni punto che costituisce il corpo.
Il momento d’inerzia può essere quindi calcolato attraverso la seguente espressione:

Dove I è il momento d’inerzia del corpo,

è la massa del punto i-esimo,

è la distanza del punto i-esimo e la sommatoria viene effettuata su tutti i punti che compongono il corpo.

Nota la formula appena considerata e ipotizzando di avere un corpo a densità uniforme, è possibile calcolare il momento di inerzia di un corpo con particolari geometrie.
Per fare ciò è necessario trasforme la sommatoria in integrale e introdurre la densità del corpo in modo da poter calcolare l’integrale considerando il volume del corpo e non più le distanze dei punti dal centro del sistema di riferimento.

In seguito vengono riportati alcune formule che descrivono il momento d’inerzia di alcuni corpi con forme particolari.
Il momento d’inerzia di un cilindro è pari a:

Dove M è la massa del corpo e R è il raggio del cilindro.

Il momento d’inerzia di una sfera è pari a:

Dove M è la massa del corpo e R è il raggio della sfera.
Per ulteriori approfondimenti sul momento di inerzia vedi anche qua

Centro relativo

Con la lettera “X” indichiamo il centro relativo del sistema di massa rispetto alla retta x, è come se fosse un baricentro.
Il centro relativo avrà un’ordinata (

).

Possiamo definire anche il raggio principale di inerzia del sistema di masse rispetto alla retta x, questo raggio verrà chiamato “

Il momento di inerzia rispetto all'asse x si può calcolare anche come il prodotto tra la

di x al quadrato e la sommatoria delle masse.
L’ordinata del centro relativo (

). Da qui si può calcolare la “dy” come il rapporto tra la

di x al quadrato e l’ordinata del baricentro.

Se la retta si avvicina al baricentro, la x “scappa” e la dy aumenta; se invece la retta x si allontana, la x si avvicina al baricentro e la dy diminuisce.
Se una retta contiene il centro relativo di un sistema di masse rispetto ad un’altra retta, questa deve contenere il centro relativo rispetto alla seconda retta; queste rette si dicono “rette coniugate”.