Momento di inerzia polare e planare: definizione ed esempi

In questo appunto di Fisica tratteremo il Momento di Inerzia Polare, facendo prima una breve introduzione sull’argomento, per poi passare al caso particolare con spiegazione ed esempi.

Momento di inerzia: introduzione

Il termine momento d’inerzia fa riferimento al concetto più esteso di inerzia di un corpo cioè alla resistenza che questo oppone quando viene perturbato dal suo stato di quiete.

In particolare, esistono tre diversi momenti d’inerzia, ovvero di massa, planare e polare. Per sapere quale di questi è necessario per un determinato calcolo o analisi, è importante capire in cosa questi si differenziano essenzialmente. Brevemente, possiamo dire che:

• ll momento d’inerzia di massa descrive la capacità di un oggetto di resistere all’accelerazione angolare
• I momenti d’inerzia planare e polare invece, rientrano entrambi nel cosiddetto secondo momento d’inerzia.

In particolare, il momento d’inerzia planare descrive la modalità di distribuzione di un'area rispetto a un asse di riferimento (in genere l’asse baricentrico). Il momento d’inerzia polare invece, è sostanzialmente analogo a quello planare ma è applicabile a oggetti cilindrici; in pratica, descrive la resistenza che un corpo circolare oppone alla torsione, dove la torsione è generata da una coppia applicata.

Momento di inerzia Polare

Per essere più precisi, dato un sistema di n masse, possiamo dire che il momento di inerzia Polare del sistema di masse rispetto ad un punto generico ( O ) è dato dalla somma dei prodotti delle singole masse

), talvolta indicato con la lettera

, è pari a:

Da questa formula possiamo notare che, a parità di massa, le masse che si trovano più lontani dall'asse di rotazione danno un maggiore contributo. Inoltre, possiamo dire che il momento angolare di un sistema di n masse si comporta come un corpo rigido, in cui cioè le distanze reciproche tra i punti materiali non variano.
Un altro aspetto da notare è che possiamo estendere la definizione di momento di inerzia di massa anche a un corpo rigido di volume

. In particolare, se consideriamo tale corpo come un sistema di punti materiali, ciascuno caratterizzato da un volume

, allora la massa di ciascun punto sarà pari a:

Dove

è la densità (che possiamo considerare costante se il corpo è omogeneo). In questo caso il contributo di momento di tale elemento di volume al momento di inerzia totale è dato da

In cui

è la distanza dell'elemento dall'asse di rotazione in considerazione. A questo punto possiamo calcolare il momento di inerzia sommando tutti questi contributi, inoltre passando al continuo avremo che questi contributi diventano sempre più piccoli (infinitesimi) mentre la sommatoria si estende ad un integrale, ovvero:

Compreso il momento di inerzia polare, possiamo passare a quello planare nel prossimo paragrafo.

Momento di Inerzia Planare

Il momento d’inerzia planare è analogo a quello polare, con l’unica differenza che considera la distanza rispetto al piano di riferimento e non ad un polo. Facendo riferimento al piano bidimensionale quindi, possiamo calcolare due momenti d’inerzia, ciascuno riferito rispettivamente all’asse delle ascisse e all’asse delle ordinate. In particolare, il momento di inerzia rispetto all'asse x (

Viceversa, il momento di inerzia rispetto al'asse y (

Inoltre, sapendo che la distanza totale di un punto al quadrato è pari alla somma della distanza dall’ascissa al quadrato e l’ordinata al quadrato (utilizzando il Teorema di Pitagora), possiamo dire che il momento di inerzia polare è pari alla somma dei due momenti di inerzia planari.

Quindi, il momento di inerzia polare

è pari alla somma tra il momento di inerzia rispetto all'asse x

e il momento di inerzia rispetto all’asse y

, valutati rispetto a due generici assi ortogonali passanti per il punto O.
Viceversa, il momento di inerzia rispetto all'asse y è dato dalla differenza tra il momento di inerzia polare e il momento di inerzia rispetto all'asse x. Allo stesso modo, il momento di inerzia rispetto all'asse x è dato dalla differenza tra il momento di inerzia polare e il momento di inerzia rispetto all'asse y.
Ovviamente, anche le unità di misura sono le medesime per tutti i momenti di inerzia, ovvero

.
In generale, i momenti d’inerzia planare e polare si utilizzano per il calcolo della flessione, sia lo spostamento lineare dovuto a una forza applicata che quello angolare derivante da un momento applicato. Ad ogni modo, potete trovare qualche approfondimento su quanto detto nel prossimo paragrafo.

Approfondimenti

Per ulteriori approfondimenti, consultare i seguenti appunti:
Momento di inerzia
Momento di inerzia e baricentro
Flessione di una trave