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Scomposizioni di polinomi

Scomporre un polinomio

Ridurre in fattori di grado minore

Raccoglimento

Totale

  • Termini in comune
  • Raccolto M.C.D.

Parziale

  • Polinomi, n° pari termini (4/6)
  • Diviso in coppie

Stesso fattore da raccogliere

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Sintesi

Polinomi e scomposizione in fattori

In questo appunto di algebra parliamo di polinomi, in particolare della scomposizione di un polinomio in fattori primi mediante il raccoglimento, che può essere parziale o totale. La scomposizione in fattori, o fattorizzazione, è un'operazione molto importante perché ci permette di trasformare una somma algebrica in un prodotto di fattori e si dimostra utilissima in molti argomenti della matematica e non solo. Per la comprensione dell'argomento suggeriamo un ripasso dei concetti di base del calcolo letterale.

Polinomio, somma di monomi non simili

Per definizione un polinomio è la somma di due o più monomi, nessuno dei quali simile a ciascuno degli altri. Se tra i termini del polinomio ci sono monomi opposti, la loro somma è uguale a zero, ovvero al monomio nullo, e il numero dei termini si riduce.

Dopo aver eseguito tutte le operazioni che è possibile svolgere tra i termini di un polinomio, si ottiene quella che si definisce forma normale; ad esempio, le seguenti scritture sono polinomi:

  • [math]2bx^2-3ax+7a[/math]
  • [math]-b+z[/math]
  • [math]-5y^2+2[/math]

Questi tre polinomi sono tutti ridotti a forma normale.

Consideriamo ora la scrittura successiva:

[math]bx^2-3bx+7bx^2-bx-5bx^2[/math]

Questo polinomio è costituito da 5 termini, ma alcuni di essi sono simili: il primo con il terzo e il quinto, il secondo con il quarto. Ricordiamo che due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale; in questo caso è possibile effettuare tra di loro l'operazione di somma algebrica.

Sommiamo allora i termini simili e riscriviamo il polinomio in forma normale:

[math]2bx^2-4bx[/math]

Il polinomio che inizialmente era costituito da 5 termini, in realtà ne comprende solamente due.

Un polinomio, in genere, si considera sempre in forma normale. A seconda del numero dei monomi che lo compongono ci sono dei termini specifici; fino a 4 termini si utilizzano le seguenti diciture:

  • Binomio se è formato da due monomi
  • Trinomio se è formato da tre termini
  • Quadrinomio se è formato da quattro termini

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni con i monomi vedi qua

Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi rispetto a tale lettera dei monomi che lo compongono. Per rendere più facile la lettura di un polinomio si è soliti ordinare i suoi monomi in modo decrescente rispetto alle potenze di una lettera. Esaminiamo la scrittura successiva:

[math]2bx^4-3bx^3+7bx^2-bx-5[/math]

Abbiamo un polinomio costituito da 5 termini: i primi quattro hanno la parte letterale che contiene sia la lettera b che la lettera x. I termini sono ordinati in modo che le potenze della lettera x decrescano rispetto a tale lettera: il primo termine è di quarto grado, il secondo di terzo grado, il terzo di secondo grado, il quarto di primo grado e il quinto di grado zero.

Le potenze della lettera b non hanno invece alcun ordine.

Sempre rispetto alla lettera x dobbiamo dire che il polinomio è completo perché presenta tutte le potenze, da quella nulla a quella di quarto grado.

Per il polinomio si definisce anche il grado complessivo, che è il maggiore dei gradi dei monomi che lo compongono. Nel polinomio:

[math]2bx^4-3bx^3+7b^2x^2-bx-5[/math]

Il monomio di grado massimo è il primo perché, sommando gli esponenti di b e di x, otteniamo 5; quindi si tratta di un monomio di quinto grado, che è anche il grado del polinomio.

Il secondo monomio e il terzo sono di quarto grado, il quarto monomio è di secondo grado, il quinto è di grado zero perché contiene solo il coefficiente numerico.

Scomposizione in fattori

L’operazione di scomposizione di un polinomio è l’insieme dei procedimenti finalizzati alla trasformazione di una somma algebrica in un prodotto di fattori primi tra loro. Riportiamo in elenco i vari metodi di scomposizione:

  • Raccoglimento a fattore comune totale
  • Raccoglimento a fattore comune parziale o a gruppi
  • Differenza di due quadrati
  • Differenza di due cubi
  • Somma di due cubi
  • Cubo del binomio
  • Quadrato di un trinomio
  • Trinomio particolare, metodo di Ruffini

Scomporre un polinomio significa dunque ridurlo ad un prodotto di fattori che sono monomi o polinomi di grado inferiore; quando la scomposizione non è possibile, il polinomio viene detto irriducibile. Nei paragrafi successivi spieghiamo come si esegue il raccoglimento a fattore comune totale e quello a fattore comune parziale.

Raccoglimento a fattore comune totale

Quando dobbiamo scomporre un polinomio è buona norma osservarlo attentamente in modo da scegliere il metodo più idoneo e non andare a caso.

Il raccoglimento totale è un metodo di scomposizione che si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione:

[math]A\cdot B + A\cdot C= A\cdot (B+C)[/math]

Quando applichiamo questa proprietà, procediamo in senso inverso rispetto a quando moltiplichiamo un monomio per un polinomio o a quando moltiplichiamo due polinomi: se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune, lo possiamo raccogliere, come il fattore A nell’esempio.

Il fattore comune a tutti i termini è il loro massimo comune divisore (MCD).

Scomponiamo i seguenti polinomi:

  • [math]2a^2+2a[/math]
  • [math]12a^3-6a^2b^2+9ab[/math]
  • [math]5a(2x+y)-3(2x+y)[/math]

Il primo polinomio è un binomio, il fattore comune è

[math]2a[/math]
, che è il MCD tra essi:

[math]2a^2+2a=2a\cdot a+2a=2a\cdot(a+1)[/math]

Il fattore due a viene messo in evidenza, come si dice in gergo tecnico.

I due termini che sono nelle parentesi tonde sono il risultato della divisione di ciascun termine del binomio per il massimo comune divisore.

Il secondo polinomio è un trinomio, il fattore comune è 3a; mettiamolo in evidenza e nella parentesi scriviamo la somma dei risultati della divisione:

[math]12a^3-6a^2b^2+9ab=3a\cdot(4a^2-2ab^2+3b)[/math]

Osservando attentamente il polinomio vediamo che il fattore comune è il binomio in parentesi; quando ci troviamo di fronte a un caso come questo non dobbiamo effettuare tutti i prodotti, ma dobbiamo raccogliere a fattore comune proprio la parentesi:

[math]5a(2x+y)-3(2x+y)=(2x+y)(5a-3)[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul massimo comune divisore vedi qua

Raccoglimento a fattore comune parziale

Il raccoglimento parziale è una tecnica di scomposizione in fattori che avviene in due step.

Nel primo step dobbiamo individuare tra i termini del polinomio quelli che presentano i fattori comuni; in questo modo abbiamo una prima riduzione del numero di termini totali.

Ora il polinomio è stato trasformato nella somma di due o più termini che hanno in comune il fattore comune raccolto nel primo step. Effettuiamo un secondo raccoglimento e, se necessario, ripetiamo ancora l’operazione e questo dipende dal numero di termini del polinomio, fino ad arrivare ad un prodotto di fattori completo.

In pratica ci sono gli stessi passaggi della moltiplicazione fra polinomi, ma vengono percorsi in senso inverso. Questa tecnica di scomposizione va effettuata quando nel polinomio il fattore comune non è presente in tutti i termini, ma solo in alcuni di essi. Ad esempio, un polinomio con quattro termini può presentare fattori comuni nelle due coppie; con sei termini può presentare fattori comuni solo in gruppi di tre termini. Si effettua il raccoglimento parziale per ogni gruppo individuato. È importante osservare sempre tutta la scrittura per individuare i termini da raggruppare. Vediamo ora alcuni esempi di applicazione di questa tecnica.

Scomponiamo i seguenti polinomi:

  • [math]2ax+2bx+ay+by[/math]
  • [math]4ab-2a+6bc-3c[/math]
  • [math]2mn-m^2-6n+3m[/math]

Il primo polinomio ha quattro termini che non presentano un fattore comune. Possiamo raccogliere il fattore

[math]2x[/math]
tra il primo e il secondo termine e il fattore
[math]y[/math]
fra il terzo e il quarto:

[math]2ax+2bx+ay+by=2x(a+b)+y(a+b)[/math]

Ora il polinomio è somma di due termini che hanno come fattore comune

[math](a+b)[/math]
; proseguiamo con un raccoglimento totale:

[math]2x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(2x+y)[/math]

Ripetiamo la procedura anche per il secondo polinomio: raccogliamo a fattore comune

[math]2a[/math]
tra i primi due termini e
[math]3c[/math]
tra il terzo e il quarto:

[math]4ab-2a+6bc-3c=2a(2b-1)+3c(2b-1)[/math]

Ed ora di nuovo:

[math]2a(2b-1)+3c(2b-1)=(2b-1)(2a+3c)[/math]

Scomponiamo anche l’ultimo del gruppo: mettiamo in evidenza

[math]2n[/math]
tra il primo e il terzo termine del polinomio, ed
[math]m[/math]
tra gli altri due:

[math]2mn-m^2-6n+3m=2n(m-3)+m(3-m)[/math]

Ora che il polinomio presenta due termini con fattore comune

[math](m-3)[/math]
, mettiamo in evidenza e raccogliamo nuovamente:

[math]2n(m-3)+m(3-m)=(m-3)(2n+m)[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui metodi di scomposizione vedi qua

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