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Matematica C
Matematica dolce 3 - licei
Testo per il secondo biennio della Scuola Secondaria di grado
II
Licei
Matematicamente.it
Edizione - 2017
3
Matematica – Matematica dolce 3 - licei
C
Copyright © 2017 Matematicamente.it
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C P Daniele Zambelli.
Coordinatori del progetto
A Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Miche-
Autori
le Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.
H C Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.
Hanno collaborato
P I L TEX Dimitrios Vrettos.
A
Progettazione e implementazione in
C Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli,
Collaboratori
Daniele Zambelli.
C, Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiorna-
Collaborazione, commenti e suggerimenti
3
mento del manuale Matematica - Algebra 1 o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi
C
daniele.zambelli@istruzione.it
a.
3.0.1
Versione del documento: del 27 giugno 2017.
Stampa 2017: giugno 2017.
ISBN 9788899988029
D ’
Dati tecnici per l’adozione del libro a scuola
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Titolo: Matematica, Matematica dolce 3 - licei -2017.
C
Codice ISBN: 9788899988029
Editore: Matematicamente.it.
Anno di edizione: 2017.
e
Prezzo: 0,00.
Formato: ebook ( ).
PDF Indice
Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Prefazione all’edizione 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Prefazione all’edizione 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Divisibilità e scomposizione di polinomi
1.1 Divisione tra polinomi
1.1 Divisione tra polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Algoritmo di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Regola di Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Teorema di Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Scomposizione in fattori
1.2 Scomposizione in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Raccoglimento fattore comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Raccoglimento parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Altre tecniche di scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Scomposizione mediante metodi combinati . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Esercizi
1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Frazioni algebriche
2.1 Divisore comune e multiplo comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Massimo Comun Divisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Definizione di frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Semplificazione di una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Moltiplicazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Divisione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Potenza di una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Casi particolari dell’esponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Addizione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Complementi di algebra di primo grado
3.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado . . . . . . . . . 49
3.2 Equazioni numeriche frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv Indice
3.3 Equazioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Equazioni letterali e formule inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Equazioni di secondo grado
4.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Risoluzione di un’equazione di secondo grado pura . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Risoluzione di un’equazione incompleta spuria . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Risoluzione di un’equazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Equazioni numeriche frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Relazioni tra soluzioni e coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto . . . . . 68
4.5 Scomposizione del trinomio di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Equazioni parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7 Problemi di secondo grado in una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.8 L’equazione di terzo grado, un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.9 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori . . . . . . . . . . . . . 74
4.10 Sistemi di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.10.1 Sistemi di secondo grado numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.11 Sistemi simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.11.1 Sistemi simmetrici di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 La parabola nel piano cartesiano
5.1 Rappresentazione del trinomio di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Significato geometrico dei coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Tracciare parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Parabola e retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5 Rette tangenti ad una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6 Intersezioni tra parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.7 Ricerca dell’equazione di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.8 Altre parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Disequazioni
6.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Studio del segno di un trinomio di secondo grado . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Disequazioni polinomiali di grado superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Disequazioni fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 Sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Indice v
7 Dai Naturali agli Iperreali
7.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.1 I numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.2 I numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.3 I numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1.4 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.5 I numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
R
∗
7.2 I numeri iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.1 Il problema della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2 Il postulato di Eudosso-Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.3 Insiemi non archimedei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.4 Tipi di Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2.5 Iperreali finiti e parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.7 Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.2.8 Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.9 Infinitamente vicini, indistinguibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.10 Principio di tranfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.1 Problemi con gli Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.2 Espressioni con gli Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8 Circonferenza
8.1 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . 157
8.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 Angoli nelle circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.4 Proprietà dei segmenti di tangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.7 Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.8.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9 Proporzionalità e similitudine
9.1 La misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.1.1 Classi di grandezze omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.2 Proporzionalità tra grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.2.1 Proprietà delle proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali . . . . . . . . . 187
9.2.3 Grandezze inversamente proporzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.3 Teorema di Talete, caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.3.1 Conseguenze del teorema di Talete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.4 Avere la stessa forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
vi Indice
9.5 La similitudine nei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.5.1 Proprietà dei triangoli simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.6 Similitudine tra poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.6.1 Similitudine tra poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.8 La sezione aurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.8.1 Il punto di vista algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.8.2 Il punto di vista geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10 Goniometria
10.1 Angoli e archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.2 La circonferenza goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.3 Le funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.4 Relazioni tra le funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.4.1 Relazione fondamentale della goniometria . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.4.2 Tangente in funzione di seno e coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.4.3 Traslazione di seno e coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.5 Angoli associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.6 Angoli particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.6.1 Digressione pitagorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.6.2 Angolo di 30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.6.3 Angolo di 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.6.4 Angolo di 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.7 Formule goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.8 Equazioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.8.1 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.9 Disequazioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.9.1 Funzioni periodiche e Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11 Trigonometria
11.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.2 Due identità fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.3 Usare la calcolatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.4 Risoluzione di triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.4.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione . . . . . . . . . . . . . . 240
11.5 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli . . . . . . . . . . 240
11.5.1 Quadrilateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.5.2 Applicazioni della trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.6 Risoluzione di un triangolo qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11.6.1 Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti . . . . . . . . . . . . . . 244
11.6.2 Caso II: tre lati congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.6.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.6.4 Riflessioni sull’uso del teorema dei seni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Indice vii
11.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12 Vettori
12.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.2 Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.2.1 Somma di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.2.2 Differenza tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore . . . . . . . . . . . . . 261
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Testo di matematica in cinque volumi per le scuole di secondo grado a cura di Daniele Zambelli
Matematica dolce è un progetto collaborativo open-source. Trovi tutti i dettagli dell'iniziativa e le istruzioni per partecipare all'indirizzo https://bitbucket.org/zambu/matematicadolce.
Di seguito trovi l'indice e i link per scaricare il terzo volume con la relativa copertina.
Indice del terzo volume
Prefazione
Prefazione alla seconda edizione vii Prefazione all'edizione 2016 vii Prefazione all'edizione 2017 vii Prefazione all'edizione 2018 viii
1 Divisibilità e scomposizione di polinomi 1
1.1 Divisione tra polinomi 1 1.1.1 Algoritmo di Euclide 1 1.1.2 Regola di Ruffini 5 1.1.3 Teorema di Ruffini 7 1.2 Scomposizione in fattori 8 1.2.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori 8 1.2.2 Raccoglimento fattore comune 9 1.2.3 Raccoglimento parziale 11 1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli 12 1.2.5 Altre tecniche di scomposizione 16 1.2.6 Scomposizione mediante metodi combinati 21 1.3 Esercizi 24 1.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi 24 1.3.2 Esercizi riepilogativi 31
2 Frazioni algebriche 33
2.1 Divisore comune e multiplo comune 33 2.1.1 Massimo comune divisore 33 2.1.2 Minimo comune multiplo 34 2.2 Definizione di frazione algebrica 34 2.3 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica 35 2.4 Semplificazione di una frazione algebrica 36 2.5 Moltiplicazione di frazioni algebriche 37 2.6 Divisione di frazioni algebriche 38 2.7 Potenza di una frazione algebrica 39 2.7.1 Casi particolari dell'esponente 39 2.8 Addizione di frazioni algebriche 40 2.9 Esercizi 42 2.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 42
3 Complementi di algebra di primo grado 49
3.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado 49 3.2 Equazioni numeriche frazionarie 50 3.3 Equazioni letterali 51 3.4 Equazioni letterali e formule inverse 53 3.5 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili 54 3.6 Esercizi 55 3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi 55
4 Equazioni di secondo grado 61
4.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita 61 4.1.1 Risoluzione di un'equazione di secondo grado pura 61 4.1.2 Risoluzione di un'equazione incompleta spuria 62 4.2 Risoluzione di un'equazione completa 62 4.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado 64 4.3 Equazioni numeriche frazionarie 65 4.4 Relazioni tra soluzioni e coefficienti 66 4.4.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto 68 4.5 Scomposizione del trinomio di secondo grado 68 4.6 Equazioni parametriche 69 4.7 Problemi di secondo grado in una incognita 70 4.8 L'equazione di terzo grado, un po' di storia 73 4.9 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 74 4.10 Sistemi di secondo grado 75 4.10.1 Sistemi di secondo grado numerici 76 4.11 Sistemi simmetrici 79 4.11.1 Sistemi simmetrici di secondo grado 80 4.11.2 Esercizi dei singoli paragrafi 82
5 La parabola nel piano cartesiano 95
5.1 Rappresentazione del trinomio di secondo grado 95 5.2 Significato geometrico dei coefficienti 97 5.3 Tracciare parabole 99 5.4 Parabola e retta 102 5.5 Rette tangenti ad una parabola 103 5.6 Intersezioni tra parabole 106 5.7 Ricerca dell'equazione di una parabola 107 5.8 Altre parabole 108 5.9 Esercizi 109 5.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 109
6 Disequazioni 113
6.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado 113 6.1.1 Studio del segno di un trinomio di secondo grado 113 6.2 Disequazioni polinomiali di grado superiore 115 6.3 Disequazioni fratte 118 6.4 Sistemi di disequazioni 121 6.5 Esercizi 124 6.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi 124
7 Dai naturali agli iperreali 131
7.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 131 7.1.1 I numeri naturali N 131 7.1.2 I numeri interi Z 131 7.1.3 I numeri razionali Q 132 7.1.4 I numeri reali R 133 7.1.5 I numeri complessi C 135 7.2 I numeri iperreali fiR 135 7.2.1 Il problema della velocità 135 7.2.2 Infinitesimi... e infiniti 136 7.2.3 Tipi di iperreali 137 7.2.4 Numeri infinitamente vicini 138 7.2.5 Iperreali finiti e parte standard 139 7.2.6 Retta iperreale e strumenti ottici 140 7.2.7 Operazioni 142 7.2.8 Confronto 145 7.2.9 Indistinguibili 148 7.2.10 Principio di transfer 150 7.3 Applicazioni 151 7.3.1 Problemi con gli iperreali 151 7.3.2 Espressioni con gli iperreali 152 7.4 Esercizi 155 7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi 155
8 Proporzionalità e similitudine 163
8.1 La misura 163 8.1.1 Classi di grandezze omogenee 163 8.2 Proporzionalità tra grandezze 167 8.2.1 Proprietà delle proporzioni 168 8.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali 169 8.2.3 Grandezze inversamente proporzionali 171 8.3 Teorema di Talete, caso generale 172 8.3.1 Conseguenze del teorema di Talete 173 8.4 Avere la stessa forma 176 8.5 La similitudine nei triangoli 177 8.5.1 Proprietà dei triangoli simili 179 8.6 Similitudine tra poligoni 180 8.6.1 Similitudine tra poligoni regolari 181 8.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza 182 8.8 La sezione aurea 183 8.8.1 Il punto di vista algebrico 183 8.8.2 Il punto di vista geometrico 183 8.9 Esercizi 186 8.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 186
9 Goniometria 197
9.1 Angoli e archi 197 9.2 La circonferenza goniometrica 198 9.3 Le funzioni circolari 199 9.4 Relazioni tra le funzioni circolari 201 9.4.1 Relazione fondamentale della goniometria 201 9.4.2 Tangente in funzione di seno e coseno 201 9.4.3 Traslazione di seno e coseno 202 9.5 Angoli associati 202 9.6 Angoli particolari 202 9.6.1 Digressione pitagorica 203 9.6.2 Angolo di 30° 204 9.6.3 Angolo di 45° 204 9.6.4 Angolo di 60° 204 9.7 Formule goniometriche 205 9.8 Equazioni goniometriche 206 9.8.1 Equazioni goniometriche elementari 206 9.9 Disequazioni goniometriche 208 9.9.1 Funzioni periodiche e iperreali 209 9.10 Esercizi 211 9.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi 211
10 Trigonometria 217
10.1 Prime definizioni 217 10.2 Due identità fondamentali 218 10.3 Usare la calcolatrice 219 10.4 Risoluzione di triangoli rettangoli 221 10.4.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione 222 10.5 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 222 10.5.1 Quadrilateri 223 10.5.2 Applicazioni della trigonometria 223 10.6 Risoluzione di un triangolo qualunque 225 10.6.1 Caso I: due lati e l'angolo compreso congruenti 226 10.6.2 Caso II: tre lati congruenti 227 10.6.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti 227 10.6.4 Riflessioni sull'uso del teorema dei seni 228 10.7 Esercizi 229 10.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi 229
11 Vettori 237
11.1 Prime definizioni 237 11.2 Operazioni con i vettori 240 11.2.1 Somma di vettori 240 11.2.2 Differenza tra vettori 242 11.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore 243 11.2.4 Il prodotto scalare 244 11.2.5 Il prodotto vettoriale 244 11.3 Esercizi 246
12 Statistica descrittiva bivariata 247
12.1 Indagine statistica 247 12.2 Fasi di un'indagine statistica 248 12.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 249 12.2.2 Rappresentazione grafica 250 12.3 Indici di posizione 254 12.3.1 Moda 255 12.3.2 Media aritmetica 255 12.3.3 Mediana 257 12.4 Indici di variabilità 257 12.4.1 Scarto medio assoluto 258 12.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 258 12.4.3 Coefficiente di variazione 259 12.5 Tabelle a doppia entrata 260 12.6 Indipendenza e connessione 263 12.6.1 L'indipendenza statistica 263 12.6.2 Il Chi quadro 263 12.6.3 Il Chi quadro normalizzato 264 12.7 Correlazione 265 12.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 265 12.7.2 Il concetto di covarianza 265 12.7.3 Coefficiente di correlazione lineare 266 12.7.4 La retta di regressione 267 12.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 269 12.9 Esercizi 270 12.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi 270
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