Espressioni con parentesi tonde, quadre e graffe

In questo appunto di matematica descriviamo quali sono le regole di esecuzione delle 4 operazioni nelle espressioni aritmetiche, in particolare quando sono presenti tutti gli ordini di parentesi: tonda, quadra, graffa. La conoscenza della regola di esecuzione evita delle ambiguità nello svolgimento. L’appunto contiene anche diverse espressioni svolte per capire come applicare le regole.

Espressione aritmetica ed espressione algebrica

Un’espressione aritmetica è una sequenza di operazioni tra numeri senza lettere.
Quando sono presenti anche lettere si parla di espressione algebrica e in questo caso valgono le tutte le regole delle operazioni del calcolo letterale.

• [math]6+25-12:4[/math]
  è un espressione aritmetica
• [math]a^2+4ab+4b^2[/math]
  è un espressione algebrica

Se le espressioni aritmetiche contengono solo numeri naturali l’operazione di addizione è sempre possibile, mentre l'operazione di sottrazione si può eseguire solo se il minuendo è maggiore del sottraendo
Si può eseguire ad esempio la somma tra 4 è 5:

e la sottrazione:

Per sottrarre il cinque dal quattro bisogna cambiare insieme numerico, l’operazione di sottrazione in Z é sempre possibile, perché i numeri relativi sono dotati di segno, i numeri negativi:

La moltiplicazione tra numeri naturali è sempre definita mentre la divisione si può effettuare solo se il dividendo è un multiplo del divisore:

Si può eseguire ad esempio il prodotto tra 4 è 5:

ma non la divisione.
Per dividere quattro con cinque bisogna cambiare insieme numerico, l’operazione di divisione è sempre possibile nell’insieme dei numeri razionali: Q.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri razionali vedi qua

Ordine di esecuzione delle operazioni in parentesi

Facciamo un esempio pratico, per capire come sia importante l’uso delle parentesi.
Marta ha 2 scatole che contengono, ciascuna, 6 pelouche; sua sorella Lisa ha invece 3 scatole, in ciascuna delle quali ci sono sempre 6 pelouche.

cioè

Sarà giusta?
Prima di scrivere l’espressione corretta proviamo a calcolare il numero che si ottiene seguendo le indicazioni della frase: dobbiamo moltiplicare sei per la somma di 2 e 3, che fa 5, ricavando 30; le due sorelle quindi hanno in tutto 30 pelouche.
Scriviamo l’espressione corrispondente che abbiamo pensato: dobbiamo avere una moltiplicazione nella quale il primo fattore è 6 e il secondo si ricava dalla somma di 2 e 3:

Svolgendo le operazioni nell’ordine in cui compaiono, la moltiplicazione tra 6 e 2, e poi l’addizione:

il risultato è diverso da quello che ci aspettavamo. Invertiamo l’ordine di esecuzione delle operazioni effettuando prima la somma tra 2 e 3 e poi il prodotto:

Procedendo in questo ordine il risultato è quello che abbiamo ricavato all’inizio.
Come si possono evitare queste ambiguità nella scrittura delle espressioni?
Queste ambiguità possono portare a risultati diversi a seconda dell’ordine in cui svolgiamo le operazioni.
Se avessimo scritto :

Avremmo ottenuto il risultato corretto.

Parentesi tonda, quadra, graffa

Per evitare ambiguità come nell’esempio del paragrafo precedente, ci sono due semplici regole da rispettare.
Prima regola
Se in un espressione compaiono tutte le 4 operazioni bisogna svolgere prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui vengono scritte, e poi le addizioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui compaiono nell’espressione.

Seconda regola
Per indicare un ordine di esecuzione diverso da questo bisogna racchiudere tra parentesi tutte le operazioni che si vuole vengano effettuate prima.
Ci sono tre ordini di parentesi:

• le parentesi tonde ()
• le parentesi quadre[]
• le parentesi graffe{}

Nelle espressioni in cui sono presenti più ordini di parentesi, le tonde vengono racchiuse nelle quadre, le quadre vengono racchiuse nelle graffe:

• [()]
• {[]}
• {[()]}

Per procedere correttamente, occorre completare dapprima tutte le operazioni all’interno delle parentesi tonde, sempre rispettando le precedenze delle operazioni, poi le operazioni nelle parentesi quadre e infine quelle racchiuse dalle parentesi graffe.

Parentesi nelle potenze di frazioni

Ricordiamo che elevare a potenza un numero naturale significa moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto indicato dall’esponente.
Se la base è un numero relativo, allora bisogna fare la potenza anche del segno, è in questo caso utilizziamo le parentesi per evitare ambiguità:

• [math]2^3=2\cdot 2 \cdot 2=8[/math]
• [math]3^5=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243[/math]

Se la base è un numero relativo, allora bisogna fare la potenza anche del segno, e in questo caso utilizziamo le parentesi per evitare ambiguità:

• [math](-2)^3=-2\cdot -2 \cdot -2=-8[/math]
• [math](-3)^4=-3\cdot -3\cdot -3\cdot -3=+81[/math]
• [math][-(-2)^3]^2=[-8]^2=+64[/math]

La potenza di un numero negativo è positiva quando l’esponente è pari altrimenti è negativa.
Se la base di una potenza è una frazione, anche in questo caso si utilizzano le parentesi:

• [math](\frac{2}{3})^3={2^3\over 3^3}={8\over 27}[/math]
• [math](-3)^{-2}=\big ({-1\over 3}\big)^2={1\over 9}[/math]

Allo stesso modo si utilizzando i vari ordini di parentesi quando si effettuarono operazioni con le frazioni

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle potenze vedi qua

Espressioni svolte con diversi ordini di parentesi

Svolgeremo alcune espressioni, solo con le parentesi tonde, con parentesi tonde e quadre, e anche con tutti gli ordini: tonde, quadre e graffe.

(40−9x4)+7x5+4

[(21−14)x5+19]:(3x1)

(2+7+54)+{[60−(2−1)−28]−1}+(22+66)−2

Cominciamo con la prima espressione.

(40−9x4)+7x5+4 =
Risolviamo tutte le operazioni all'interno delle parentesi tonde (in questo caso, siccome c'è una moltiplicazione all'interno della parentesi tonda, la svolgiamo per prima
(40−36)+7x5+4 =
Risolviamo la sottrazione presente all'interno della parentesi tonda:
4+7x5+4 =
3Eseguiamo la moltiplicazione rimanente.
4+35+4 =
Infine, risolviamo passo per passo tutte le operazioni rimanenti, nell'ordine in cui si presentano.
39+4 = 43

Procediamo con la seconda espressione!

[(21−14)x5+19]:(3x1) =
Risolviamo le operazioni all'interno delle parentesi tonde (in questo caso, siccome c'è una moltiplicazione all'interno della seconda parentesi tonda, svolgiamo prima quella).
[(21−14)x5+19]:3 =
Risolviamo la sottrazione presente all'interno della prima parentesi tonda:
[7x5+19]:3 =
Ora, risolviamo tutte e operazioni all'interno delle parentesi quadre (in questo caso, siccome c'è una moltiplicazione all'interno della parentesi quadra, svolgiamo prima quella).
[35+19]:3 =
Risolviamo l'addizione rimanente nella parentesi quadra.
54:3 =
Infine, risolviamo l'ultima operazione.
54:3 = 18

Svolgiamo l'ultima espressione, quella con tutti e tre gli ordini di parentesi!

(2+7+54)+{[60−(2−1)−28]−1}+(22+66)−2 =
Risolviamo sempre le operazioni all'interno delle parentesi tonde:
(9+54)+{[60−(2−1)−28]−1}+(22+66)−2
=63+{[60−(2−1)−28]−1}+(22+66)−2
=63+{[60−1−28]−1}+(22+66)−2
=63+{[60−1−28]−1}+88−2
Poi, risolviamo tutte le operazioni all'interno delle parentesi quadre, passo per passo.
63+{[59−28]−1}+88−2 =
63+{31−1}+88−2 =
Ora, risolviamo le operazioni all'interno delle parentesi graffe.
63+30+88−2 =
Infine, risolviamo tutte le operazioni rimanenti, nell'ordine in cui si presentano.
93+88−2 =
181−2 =179