Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Gazzola Filippo

Appunti e Documenti pubblicati dagli studenti che hanno frequentato i suoi corsi. I materiali caricati riguardano gli insegnamenti di analisi matematica, algebra lineare e geometria nel settore disciplinare di Scienze matematiche e informatiche sostenuti presso l’università di Politecnico di Milano.

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Politecnico di Milano

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Analisi matematica| Algebra lineare e geometria

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Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Gazzola Filippo

Analisi III

Esame Analisi matematica 3

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Appunti di analisi matematica III basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Gazzola dell’università degli Studi del Politecnico di Milano - Polimi, facoltà di ingegneria dei sistemi, Corso di laurea in ingegneria matematica. Scarica il file in formato PDF!

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Appunti(ed esercizi) di Analisi III, prof. Filippo Gazzola

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Funzioni analitiche: Derivazione complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Teorema di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Trasformazioni conformi. Teorema dei residui. Calcolo effettivo di residui. Principio del prolungamento analitico. Funzioni polidrome. Teorema di Rouché. Calcolo di integrali mediante tecniche di variabile complessa. Analisi Funzionale: Integrale di Lebesgue. Spazi di Banach e di Hilbert. Spazi Ck. Spazi Lp. Disuguaglianze di Holder e Minkowski. Funzioni test. Delta di Dirac. Derivate di una distribuzione. Distribuzioni temperate. Convoluzione. Trasformata di Fourier: Trasformata in L1 e L2. Lemma di Riemann-Lebesgue. Regole algebriche e funzionali di trasformazione. Inversione. Identità di Plancherel. Trasformata di distribuzioni temperate. Soluzione di equazioni differenziali ed integrodifferenziali. Serie di Fourier di segnali periodici. Trasformata di Laplace: Funzioni e distribuzioni Laplace trasformabili. Analiticità della trasformata. Formula di inversione. Regole algebriche e funzionali di trasformazione. Teorema del valore iniziale. Teorema del valore finale. Soluzione di problemi differenziali con condizioni iniziali. Equazioni integro-differenziali. Equazioni con ritardo. Serie di Fourier: base Hilbertiana nello spazio L2, convergenza in media quadratica, Teorema di Parseval. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier. Forma esponenziale. Serie di Fourier e trasformata di Fourier.

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Appunti Analisi 1

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dei processi industriali

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Numeri naturali, interi, razionali. Numeri reali, ordinamento e completezza. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Principio di induzione. Fattoriale. Coefficiente binomiale e binomio di Newton. Numeri complessi, piano di Gauss, forma algebrica e operazioni elementari. Forma trigonometrica e forma esponenziale dei numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso. Funzioni, dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Funzioni limitate, simmetriche. Funzioni elementari, funzioni monotone, traslazioni e dilatazione di grafici. Funzioni composte. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni monotone, funzione inversa, funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. Successioni, carattere di una successione. Definizione di limite. Successioni monotone, limitate. Successioni geometriche. Il numero di Nepero e. Forme indeterminate di tipo esponenziale. Confronto tra infiniti e tra infinitesimi. Criterio del confronto, permanenza del segno. I simboli di Landau o piccolo e asintotico. Limiti e continuità. Asintoti. Limiti notevoli, utilizzo degli asintotici. Funzioni continue, classificazione delle discontinuità. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri (con dim), teorema dei valori intermedi, permanenza del segno. Definizione di derivata, interpretazioni fisiche e geometriche. Punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione, derivazione della funzione inversa. Teorema di Fermat (con dim), teorema di Lagrange (con dim), applicazioni, test di monotonia. Teorema di de l'Hopital (cenno alla dim), derivata seconda, concavità e convessità. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di Peano (con dim). Formula di McLaurin, esempi. Formula di Taylor con resto di Lagrange, stima dell'errore. Polinomio di Taylor di funzioni composte. Integrale alla Cauchy. Integrazione delle funzioni continue. Teorema della media integrale (con dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim). Integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte.

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Elementi di Analisi Complessa

Esame Analisi matematica 3

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Argomenti trattati: - funzioni olomorfe - polidromia - integrale nullo di Cauchy - forma integrale di Cauchy - teorema di Weiestrass - punti singolari - teorema dei residui più altri elementi per la piena comprensione dei mezzi fondamentali dell'analisi complessa. In appendice alcune dimostrazioni principali.

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Problema di analisi complessa 1

Esame Analisi matematica 3

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

Prove svolte

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Analisi 3: elementi di analisi complessa e funzionale, trasformata di Fourier e Laplace

Esame Analisi matematica 3

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Argomenti trattati: - analisi complessa - fondamenti di analisi funzionale (integrale secondo Lebesgue, spazi L^p, L^p locale, spazi di Banach, spazi di Hilbert, funzioni C infinito a supporto compatto, distribuzioni, funzioni a decrescita rapida, distribuzioni temperate) - trasformata di Fourier - trasformata di Laplace In appendice le dimostrazioni

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Analisi matematica 2

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria dei processi industriali

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Analisi 2. 106 pagine di appunti. Prezzo minore di Analisi 1 perché alcune pagine si leggono leggermente sfocate ed altre sono orizzontali. Argomenti: integrali generalizzati, convergenze e divergenze, criteri; serie convergenti e divergenti; serie geometrica; carattere di serie; Funzioni a più variabili, domini, limiti, teoremi, derivate, differenziabilità; gradiente, punti di massimo e di minimo, punti di sella, matrice Hessiana; Taylor per funzioni a più variabili; ottimizzazione, Lagrange; equazioni differenziali del primo e del secondo ordine; problema di Cauchy; equazione differenziale di Bernoulli; teorema del prolungamento; integrazione multipla, y-semplice, x-semplice, teorema della media integrale; baricentro; matrice Jacobiana; coordinate sferiche, polari, cilindriche; curve; grafici di funzioni parametriche; lunghezza di una curva, ascissa curvilinea; integrali di linea; curvatura, piano osculatore, vettore binormale; campi vettoriali, rotore, divergenza, campi conservativi; Gauss-Green; superfici parametriche; integrali di superficie e di volume; serie di potenze complesse, convergenze, divergenze e proprietà; serie di Fourier.

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Analisi 1 (algebra e geometria) - appunti del corso

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dei processi industriali

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Numeri complessi, forma trigonometrica ed esponenziale, operazioni; matrici, vettori nello spazio, rette e piani nello spazio, calcolo delle distanze; spazio affine e spazio vettoriale, trasformazioni lineari, determinante e rango di matrice, matrice inversa; sistemi lineari; autospazi, autovalori ed autovettori; funzioni, grafici elementari, simmetrie, traslazioni, rotazioni e periodicità; funzioni iniettive, suriettive e composte; successioni e limiti, convergenza e divergenza, successione geometrica; algebra dei limiti, forme indeterminate, infinitesimi e ordini; criteri e teoremi di successioni e limiti; limiti di funzioni, asintoti; continuità e discontinuità di una funzione; limiti notevoli ed asintotici; proprietà di funzioni continue su intervalli; derivate; punti di non derivabilità; teoremi sulle derivate; derivata seconda; Taylor, McLaurin (resto di Peano e di Lagrange), sviluppi del second'ordine; integrali, proprietà, teoremi, antiderivate, metodi per risolvere integrali (sostituzione, funzioni razionali fratte, per parti).

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Lezioni, Geometria lineare

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria civile ambientale e territoriale

Dal corso del Prof. F. Gazzola

Università Politecnico di Milano

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Appunti di geometria teoria di un semestre intero, più eventuali aggiunte per chiarire meglio i concetti. Argomenti trattati: vettori, trasformazioni lineari, indipendenza tra vettori, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, numeri complessi, formula di de moivre, teorema fondamentale dell'algebra, matrici (con trasposta, inversa, triangolari, diagonali), determinante, spazio vettoriale, teorema di la place, rango, sistemi lineari, regola di cramer, teorema di rouchè-capelli, spazi vettoriali (con trasformazioni), base di X, nucleo (ker), suriettività, iniettività, biunivocità, trasformazioni f:R^n->R^n , autovalori, autovettori, autospazio, matrice diagonale, matrice di passaggio, equazione matriciale, teorema di Grahm Smith, teorema spettrale, forme quadratiche, coniche e quadriche (con invarianti ortogonali, centro, classificazione, forme canoniche e metodi operativi per arrivarci)

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