Appunti(ed esercizi) di Analisi III, prof. Filippo Gazzola

Name: Appunti(ed esercizi) di Analisi III, prof. Filippo Gazzola
Rating: 5.0 (1 reviews)
Author: ziopirro95

Revisionato il 31/05/2026

di ziopirro95

Publisher

Vota 5,0/5 (1)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Funzioni analitiche:Derivazione complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Teorema di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Trasformazioni conformi. Teorema dei residui. Calcolo …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Gazzola Filippo

Università Politecnico di Milano

A.A. 2018-2019

67 pagine

1 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

ANALISI III

MARCO PIRRO'

Mathematical/Nuclear Engineering

Politecnico di Milano

prof. GAZZOLA F.

a.a. 2019/2020

66 pagine

voto : 28

ANALISI III

MARCO PIRRO'

Mathematical/Nuclear Engineering

Politecnico di Milano

prof. GAZZOLA F.

a.a. 2019/2020

66 pagine

voto : 28

Analisi Complessa

f: A ⊂ C → C A aperto

Def

f è differenziabile in z se ∃h ∈ C t.c.

{z: ƒ(z) - ƒ(z) = h σ(t;z)} (|t| > 0 ... |t| < β / ƒ(z))

Non si tratta di un incremento proprio perché C non è ordinato.

Def

f è olomorfa in A (f ∈ H(A)) se è differenziabile in A (∀z ∈ A)

Prop

Prendendo V ∈ C, |V| = ε > 0, t = k ∈ V, k != 0.

f differenziabile

lim_t→0

(ƒ(z + tV) - ƒ(z))

N.E.

∃

monopol {@402;

U: R² → R

U_x + V = -U_y + V_y

{ U_x = V_y

U_y = V_x

} condizione di Cauchy-Riemann

Teo

f ∈ H(A) ⟷

U e V sono diff. e valgono C.R.

Prop

Se u, v ∈ C_n(Ω) allora U_xy = U_yx ({Scambianti}) e {U_yy = V_xx}

cioè U_yy + U_xx = tutto = D₂ = [ ]

In questo caso u e V sono dette Armoniche Coniugate

Dato _l armonica ?? l’armonica di _f _u l _v attivi e olomorfi ?? Se A = supp_f = connesso e l’armonica in A allora esiste l’armonica coniugata unica a meno di una cost.

PROLUNGAMENTO R - D C dato _f (z ⁵ ) omomorf. ? F. acc. e dom. f = A _c ^c = domand. f _c = A _c e la restrizione ^f_c = _f. Se f _a e diff. e ^a = A aperto c e _f _c = f (A) ⊆ A

Serie di potenze: ^{a x^k} -> ^{d x^k} (ci sono altri segni e formule) Una di potenze converge totalmente in qualunque compatto C dove ci converge.

FUNZIONI POLIDROME

Problema risolvere ^z² = w U_c ? compueto z = log(w) Definisco: log(w) = log |w| + ∠ (w) + 2K π

Altre famose indeterminazioni sono:

\( z - z^2\overline{a} \) (dominio complesso)

\( z = z_0 \) \( z - z_0 \) per le determinazioni (tipica \( \frac{0}{0} = 0 \) )

\( z \neq a \) \( z^2 \) per le co determinazioni

Def \( f : A \to C \) si dice continua in A se e solo se \(\lim_{z \to a} f(z) = A \) cioe' \( \forall a \in \Lambda, \exists \eta \ \forall \epsilon \) e che \( f(z) = \sum_{i = 0} a ⁿ \frac{z - z_0}{i} \) \(\forall z \neq i(z - z_0) < z \)

Tale \( \beta \in A' (A) \iff \) \( a = b \) e' equivalente in A

CURVE in C

Sia _T → C α ∈ C(T)

α si detta curva

γ = α → β > O

sono dette equivalenti α e β in cambio di parametro

V(E) α≡β e(E) V ≡ V(E π:α⋅β: h)

Se α ∈ C(T) <heregione consene e(t)

α semplice &infinita;

Suoi curve o α = α [λ] = α (β)

INDICE DI AVVOLGIMENTO

Indice di avvolgimento di α attorno a Z₀

<aree di curvilinea complessa di

FORMA PURO

α(t) = Z + i αα(t, Z₀)

INTEGRALE DI LINEA

f(z)dz = ∫_Ef(α(t))^αt dt

VENGONO LE SCRITTE IMPORNATI :

∀ f,g = ∫ f ∫g
K f = K ∫f
∫ p = ∫ q
∮ α 1 = α 2 | α|

Teo (Integrale nullo di Cauchy)

Sia A ⊂ C una regione semplice contenuta in un cerchio (e.s. po.

e sia f ∈ H(A) allora es. polinomi lineo

P(z)dz = 0

Sia f ∈ H(A)

P(z)dz = 0

Dm circuito ∈ C di f.

1. ∫ (f'(z)zt dz = f(b)-f(a)
1. F'(z)_CR = 0

Def Sia f ∈ H(A) ∃ F ∈ H(A) tc F'(z) = f(z) alloro F e primitiva

Teo Sia f ∈ E(A) alloro es r

curva chiusa in a b c eco w e La e b

I :",dr BTC

Due dipende solo delle est to emi smile del

Sia A semplicemente connesso,

Ricorda

Af.f.d. scomp. som. e comp.

A: 0,1]

f(z) = z/2
f'(z) = 1/2 z ∈ H(A)

z(z) = z A[0,1] univ. olomorfa

Sia A aper

Anteprima

Vedrai una selezione di 15 pagine su 67