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Analisi III
Marco Pirro'
Mathematical/Nuclear Engineering
Politecnico di Milano
prof. Gazzola F.
a.a. 2019/2020
66 pagine
voto : 28
Analisi Complessa
f: A C C ⟶ C, A aperto
Def: f è differenziabile in z 0 se ∃ f'(z0)
Def: Se f è olomorfa in A (f ∈ H(A)) se è differenziabile in A, f'(z0) ∈ C
Prop: Prendendo C(P), P(z + tα) - P(z) = 0 nelle → 0, f differenziabile
Dim: δ = 0, f'(z) = 0, z0 + 1 = 0, P'(t) è la formula del prodotto
Ponto: R 2 ⟶ R2
U, V: R 2 ⟶ R
U = Ux + iVx
Ux = Vx
Uy = Vx
Condizione di Cauchy-Riemann
Prop: Se u, v ∈ C∞(R2), allora Uxx: Uxx (Sottimenti) e Uyy: Vxy
Uxy + Uxx = 0
In questo caso U, V sono dette armoniche coniugate
Teo (Integrale nullo di Cauchy)
Sia A ⊂ C, una regione semplice delimitata da una curva regolare, semplice e chiusa e sia f un elemento di funzioni continue appartenenti ad A con un insieme di poli sui grafici di linee chiuse, esterne ad A.
- ∮ P(z) dz = 0
Supponiamo z ∈ C(A) ⇒ ∃ ω ∈ C(A) tale che:
- ∮ ω(z) dz = ∫ab f(z(t)) neg=sub : dt
- ∮ U dx + V dy = ∮ (V dx - U dy) = ∮ dx + i dy = ∮ u dx + v dy - i vx + i vy
CR = 0
Def
Sia F ∈ H(A) se ∃ F ∈ H(A) tale che F'(z) = f(z), allora Fϵ' è primitiva
Teo
Sia z un elemento di funzioni continue appartenenti ad A, appartiene a F: contraddizione il punto di polo esiste
Dimostrazioneγ linea chiusa in A elementi amin=a e bel=b
∮ zdx - ydy = it(zdx + ydy) = significa ω elemento di funzioni continue appartenenti ad A:
- = ∫0b f(z(t)) tdt dt
- = F(x(b)) - F(x(a))
ogni derivato da doppi estremi ÷ già comp e φadx1 dt dt = solo esempi
Viceversa
Poiché z ∈ A e ϕ(z) = ∫k2 f(w) dw con ω, linea che unisce i z e z esprime il lungo periodo:
- F(z(t)) - F(z)
- ϕ(w) dw con z1, z2 perchè espressi ∫ f(ω)dω ∴ segmento infinito ad A su elementi inverte
Prop (Inverso)
t → z1(t) ∈ C [lic. 10, 17]
∮ f'(z(t)) dt = F(z2 - z1) / 2i F'(z)
oppure F'(t) = ∫10 f'(t) dt = β(z(t)) per k2 → 0
Serie di potenze
∑ (an (z - z0)n)
R ∈ [0, ... , ∞]
per |z| < R converge unif. e ass.|z| = R (Blea).|z| > R non converge.
Teo di Weierstrass:
dn f(z)----------- ≤ M < ∞dzn
Teo di Cauchy-Hadamard:
1 n√|an|--- = lim ----------R n→∞ |an|1/n
Altra catena per R:
1 = lim |an|1/n--- n→∞ -------------R |an|
Convergenza puntuale:
∑ fm converg. p. in A se ∀ε>0 ∃Nε (z) tc ∀m ∈ Nεallora |∑ fm - f | < ε
Convergenza uniforme:
∑ fm converg. u in A se ∀ε>0 ∃Nε (tc ∀x ∈ A)allora |∑ fm - f | < ε, ∀ x ∈ A
Teo di Abel:
Se la s.d.p converge in z = R, alloraconverge in |z| < R
Teo. Sia z0 pinto singo essenziale allora qualsiasi numero complesso∀ ω ∈ C \(0 \in A̅\) zn - z0 e f(zn) ω cioè è valore limite
Conell Sia z0 pinto singa s. absoto di flim f(z)z→z0 finito → z0 sing. elim∞ → z0 è pole−z0 è sing ess.
RESIDUI
Sia f ∈ H(A) A intorno bucsto di z0, f(z) = ∑ an (z − z0)n
Teo Sia n circonf intierna al campo di convergenza di f, coul z0 ∈ ul; allora
Q = 1/2πi ⨜ f(z) dz
Def a−1 viene detto RESIDUO INTEGRALE di f uva z0 e Res (f, z0) = Q
Teo Sia f ∈ H(|z|>R) f(z)=∑n=0∞ an zn δp glass circonf. contientia di O
allora Q = 1/2πi {⨜ f(z) dz} ≅ +Resf(∞)
Dim 1/2πi ⨜−x = z = peieθz = |z|, ∫02π f(peiθ)peiθdθ
= −1/2π ∫θ gjeiθ ∑ an pn einθ dθ
= −1/2π ∫ an p8+1... eiθ(i+1) ... dθ = 1/2π Θ−2π2π, el
ui = ∫ −1ui = − 1/0
LEMMADIJORDAN
Siaf(t)∈Lx,tR
versontiraneamente
→0,p(t)
uniformeqandoR
→0,p(t)
uniformeqandoR
=
- RxieixP(z)dz
- →0
- R-xeizp(z)dz
- →0
- x∞Xexdx
- >oo
- f(t)=t2ix
- polEt2et4
- Q=2
- =q
- Res(f,z)=t=2Res(f,z)=
tπ=[^x]_2Res(f,z)=
- f[2R
- -tx
- -1
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