Analisi 1 (algebra e geometria) - appunti del corso

I NUMERI COMPLESSI

C. insieme

composti da una parte reale e da una parte immaginaria

i = unità immaginaria

i tale che i² = -1

I numeri complessi sono uno strumento per risolvere problemi reali, quando il metodo risolutivo in ambito reale non è possibile.

es. x² + x + 1 = 0 Δ = 1 - 4 < 0 non ha soluzioni

questo è il motivo storico (un'equazione di secondo grado dovrebbe sempre avere due soluzioni)

x² + x + 1 = 0 → x_1,2 = ^{-1 ± √-3}⁄₂ = ^{-1 ± √(3)i}⁄₂ = ^{-1 ± i√3}⁄₂

Def.: z ∈ C ⇔ ∃ x, y ∈ R | z = x + iy

z = x + iy

x moltiplicato per l'unità reale

y moltiplicata per l'unità immaginaria

x = parte reale di z → x = Re(z)

y = parte immaginaria di z → y = Im(z)

• se y = 0 → z ∈ R
• se x = 0 → z ∈ Im (immaginario puro)

Geometricamente i numeri complessi sono rappresentati nel

PIANO COMPLESSO DI GAUSS

x + iy

x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x —> numeri reali

(<- numeri immaginari

Il numero complesso è quindi un'estensione dei numeri reali

OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI

z₁, x₁ + iy₁

z₂, x₂ + iy₂

ADDIZIONE

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)

SOTTRAZIONE

z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + i (y₁ - y₂)

MOLTIPLICAZIONE

z₁z₂ = (x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂)

= x₁x₂ + ix₁y₂ + iy₁x₂ + i²y₁y₂

= x₁x₂ - y₁y₂ + i (x₁y₂ + x₂y₁)

CONIUGATO

z x+iy —> ^-¯_z = x-iy (parte immaginaria opposta)

z = ¯_z È simmetrico rispetto all'asse x

¯_z z ∨ z &Cbv;

¯_z z — > z ε R (modulo ε numero

sempre sull'asse x)

z + ¯_z = 2x = 2Re(z)

z - ¯_z = 2iy = 2iIm(z)

Re(z), ^{z + ¯_z} Im, ³_z-¯z

¯_z

Teoria Trigonometrica

x±yi = \(\sqrt{x^2+y^2}\) \[\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} + i \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]

1

2

3

1

3

e^iθ = cosθ + i sinθ

• 1
• -1

∀θ ∈ ℝ

dunque (cosβ + i sinβ)(cosα + i sinα) :

e^iβ e^-iα = e^i(β+α) = cos(β+α) + i sin(β+α)

infatti (cosβ + i sinβ)(cosα + i sinα) :

= cosβ cosα + i cosα sinβ + i cosβ sinα − sinβ sinα

= cosβ cosα − sinβ sinα + i(cosα sinβ + cosβ sinα) = cos(α±β) + i i sin(α±θ) c.v.d.

e^-iπ = -1

infatti cosπ + i sinπ =

e^-α+iβ = e^-iβ e^iα e^α(cosβ + i sinβ)

α+iβ = |z| (cosβ + i sinβ) = |z| e^iβ

F. ALGEBRICA

E. TRIGONOMETRICA

E. ESPONENZIALE

(1;1)∈ℝ si riduce ad un numero solo (1) (2)

_t detti_o SCALARE

• MOLTIPLICAZIONE SCALARE X MATRICE

t(a_ij) t∈ℝ : (ta_ij)

( 3 2 -1 ) - 6 3 21 ( 0 1 )

( 0 5 9 ) - ( 0 15 27 )

N.B.: sono due oggetti di natura differente

• MOLTIPLICAZIONE TRA DUE MATRICI

righe x colonne

( ) x ( )

∑_j=1 a_ijb_ji

e alla fine sommo i prodotti parziali

N.B.: il numero di elementi della riga del primo deve essere necessariamente uguale al numero di elementi nella colonna del secondo moltiplicando!

• 1a riga x prima colonna
• 1a riga x secondo colonna
• 1a riga x n-esima colonna
• 2a riga x prima colonna
• n-esima riga x prima colonna
• ecc.

m( ) n( )

n n

dimensione prodotto: MxP con P_bij(nxp)

Si, posso prenderne due qualunque a patto che non abbiano la stessa direzione, cioè non siano duplici né sovrapposti ne opposti.

V: di + jf con regola del parallelogrammo

VETTORE NELLO SPAZIO (n=3)

R³ = 3 componenti, 3 gradi di libertà

Si considera lo spazio come una sfera di centro O e di OZ.

Versori fondamentali: 3 (terna triatrosa)

con regola della mano destra.

Anche in questo caso, poi di tre versori sono inutili.

Mi servono 3 versori non complanari, dunque 4 punti non complanari. Dopo aver scelto il primo versore e il secondo non sovrapponibili mi imposto dove scegliere il terzo in un altro piano.

Il criterio che serve affinché il terzo versore non sia complanare è che non sia formato da una combinazione lineare degli altri due.

IN GENERALE IN Rⁿ

• i versori fondamentali sono esattamente n
• ogni vettore ha n componenti cioè gradi di libertà
• ogni vettore si scrive come combinazione lineare di versori fondamentali
• gli n versori fondamentali possono essere sostituiti da n vettori opportuni

Def: i vettori si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI tra loro se nessuno di essi si può scrivere come combinazione lineare di rimanenti. N.B. nessuno può essere nullo perché un versore nullo non vale.

con u, v ∈ ℝ²

posso usare il determinante? sì

ux uy vx vy

|x₀ y₀| nonamente dipendenti

dx dy |x₀ y₀| → nonamente indipendenti

In ℝ³ posso dire che un numero è linearmente dipendente se è

uguale a zero.

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

# RETTE NEL PIANO

Posso trovare una retta nel piano se ho:

• un punto e direzione
• due punti
• un punto e una direzione

P(α, β)

(AP, v) linearmente dipendenti

⇓

t ∈ ℝ / AP = t · v

x = x₀ + tα

y = y₀ + tβ

x - x₀ = tα

y - y₀ = tβ

{ x = x₀ + tα y = y₀ + tβ equazione param.

v = (α β)

P(x, y)

t ∈ ℝ, per t=0 → punto A

l'equazione cinemática del punto

(t: tempo; v: velocità)

Se α ≠ 0 ∧ β ≠ 0

x - x₀ _-t

y - y₀   ^t_-β → y - y₀

bfc(x - x₀) = αf(y - y₀)

da ciò deriva l'equazione cartesiana della retta

(senza informazioni cinemáticas)

→βx -αy = βx₀ -αy₀

se α = 0 → x = x₀

se β = 0 → y = y₀

es. A(1; 2)   V(1 3)

{ x = t y = 2 + 3t

3x + y = 5

Come possono tre piani intersecarsi nello spazio?

• 1 punto
• 1 retta
• 1 piano
• Ø se due piani sono //
• Ø se sono linearmente dipendenti

Ad esempio Π₁, Π₂, Π₃, Π₄

• Π₄

A(3,0,-1) B(2,1,0) C(0,1,2) Trovare l'equazione del piano che passa per 3 punti PRIMO MODO: con i vettori

• AB=(B-A)[-1 1 1]
• AC=[-3 1 3]

AB∧AC =

• 2
• 4
• 2

Prendo un vettore V∈AB∧AC → V(2 4 2) L'equazione sarà 2x+4y+2z+d Sostituendo uno dei punti A(1,0,-1) → 2-0+1+d=0 L'equazione diventa 2x+4y+2z=0

Secondo modo: passaggio per altro punto Sapendo che deve essere ax+by+cz+d=0 posso sostituire in questa equazione generale x,y,z Tutti i punti che voglio appartenagno al piano