Elementi di Analisi Complessa

Analisi Complessa:

f: A⊂ℂ → ℂ_C

Def.

f è differenziabile in z₀ ∈ ℂ se ∃ l ∈ ℂ

tale che f(z₀+h) - f(z₀) = lh + o(|h|),

per h → 0 (con h ∈ ℂ),

ovvero: lim_h→0 (f(z₀+h) - f(z₀))/h = l = f'(z₀).

Teor. (Weierstrass)

Se f è differenziabile allora f sarà anche una funzione analitica (anche ∃f^(∞)).

Def.

Se f è differenziabile ∀z₀∈ A aperto diretto che f è olomorfa in A, e scriveremo f ∈ H(A).

f: A⊂ℂ → ℝ, f(z) = f(x+iy) = g(x,y) + i h(x,y)

f(x) = u → ℝ, u: Rℝe(f) v: ℑm(f)

Teor.

Se f è differenziabile allora anche Re f, ℑm f sono.

Condizioni di Cauchy-Riemann:

{v_y= -u_x

u_y = v_x } (due condizioni di rinormalizzazione)

Teor.

Se f è differenziabile allora u, v sono differenziabili e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann vale il viceversa

(op. sul quadrato)

Oss.

Se u, v ∈ C² allora:

{Δu = u_xx + u_yy = 0

Δv = u_xx + v_yy = 0

Osservazioni

Laplace u e v: 0 quindi f non è id C. chiamato coniugate armoniche

Teor.

SIA Ve(^IR2) TALE CHE Δu=0 ALLORA Ǝ !Φ ARMONICA CONIUGATA A MENO DI UNA COSTANTE.

Teor.

SIA Φ:IR→IR DIFFERENZIABILE. SE Ǝ PO(UR) TALE CHE Φ_IR ≡ f INTORNO AD UN CONTORNO IR ALLORA Φ E' UNICA.

Teor.

SIA f:IR→IR E SIA f ANALITICA. ALLORA ESISTE UNICA ESTENSIONE DI f IN C.

Def.

DICIAMO CHE UNA FUNZIONE f HA POLINOMIO (MULTIPLO O PIU' VALORI) QUANDO GIRANDO ATTORNO ALL'ORIGINE ASSUME VALORI DIVERSI NELLO STESSO PUNTO.

• INDICE DI AVVOLGIMENTO:
• INDICA IL NUMERO DI GIRI DELLA FUNZIONE ATTORNO A Z₀.

Def.

LA REGIONE SEMPLICE E' UNA REGIONE DI SPAZIO CONTENUTA IN UNA CURVA REGOLARE CHIUSA E SEMPLICE.

Teor.

SIA A_c UNA REGIONE SEMPLICE, SIA ƒ∈H(A_c) E Ɣ UNA CURVILINEA LINEA CHIUSA CONTENUTA IN A_c ALLORA ∫ ƒ(z) dz = 0.

Def.

SIA ƒ∈H(A), SE ƎF∈H(A) TALE PER CUI F'(z) = ƒ(z) DIREMO CHE F E' UNA PRIMITIVA DI ƒ.

Proprietà

1. Se _z0 è singolarità eliminabile per f ⇒ Res (f, z₀) = 0
2. Se _z0 è polo del 1^o ordine per f ⇒ Res (f, z₀) ≠ 0
3. ∞ è zero del 1^o ordine per f ⇒ Res (f, ∞) = lim zf(z) ≠ 0 _z→∞
4. Se ∞ è zero di ordine m si pone g(z) = (z - z₀)^mf(z) ⇒ Res (f, z₀) = g^(m-1)(z₀) / (n-1)!
5. Se ∞ è zero di ordine > 1 per f ⇒ Res (f, ∞) = 0
6. Se ∞ è un polo del 1^o ordine per f ⇒ Res (f, z₀) = lim (z-z₀)f(z) _z→z0
7. Vale la regola di de l'Hôpital.
8. Res (f^1/2z, ∞) = Res (z^1/2f(z), 0)

Teor. (dei residui)

Supponendo che in γ f abbia un numero finito di singolarità non eliminabili: ∮_dγ f(z)dz = ∑∮_dzi f(z)dz = 2πi ∑ Res (f, z_i) Se le comprendiamo tutte in una χ₀ abbastanza grande avrà al suo esterno solo ∞ quindi: ∑ Res (f, z_i) + Res (f, ∞) = 0

L'integrale di Riemann fa una partizione del dominio, l'integrale di Lebesgue fa una partizione del codominio.