Elementi di Analisi Complessa

Analisi complessa

Definizione di differenziabilità

f : A ⊂ ℂ → ℂ

Def. f è differenziabile in z₀ ∈ A se ∃ α ∈ ℂ tale che f(z₀ + z) - f(z₀) = αz + o(1; z). Per z → 0 (con x, y ∈ ℝ), ovvero:

lim_z→0 ^{f(z₀ + z) - f(z₀)}/_z = α = f'(z₀).

Teorema di Weierstrass

Se f è differenziabile allora f sarà anche una funzione analitica (anche C^∞).

Funzioni olomorfe

Def. Se f è differenziabile ∀z₀ ∈ A aperto dico che f è olomorfa in A, e scriveremo f ∈ H(A).

f : A ⊂ ℂ → ℂ, f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = u(x, y) + iv(x, y).

f = u + iv, u, v : ℝ² → ℝ, u: Re(f) v: Im(f).

Condizioni di Cauchy-Riemann

Teor. Se f è differenziabile allora anche N e B lo sono.

Condizioni di Cauchy-Riemann: {u_y = -v_x, u_x = v_y}

Teor. Se f è differenziabile allora -N e B sono differenziabili e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, vale il viceversa.

Funzioni armoniche coniugate

Oss. Se N, v ∈ C² allora:

• Δu = u_xx + u_yy = 0
• Δv = v_xx + v_yy = 0

N, v si chiamano armoniche coniugate.

Analisi complessa

f : A ⊂ ℂ → ℂ

Def. f è differenziabile in z₀ è f è tale che f(z₀ + l) - f(z₀) = αl + o(l) per l → 0 (con l ∈ ℂ) ovvero:

lim_l→0 ^{f(z₀+l) - f(z₀)}/_l = α = f'(z₀).

Teorema di Weierstrass

Se f è differenziabile allora f sarà anche una funzione analitica (anche ξ ∞).

Funzioni olomorfe

Def. Se f è differenziabile ∀z₀ ∈ A aperto dirette che f è olomorfa in A, e scriveremo f ∈ H(A).

f : A ⊂ ℂ → ℂ, f(z) - f(x + iy) = φ(x,y) + iψ(x,y) ≡ u(x,y) + iv(x,y).

f ν = u + iv, ν, v : ℝ² → ℝ, ν Rer f, v Im f.

Condizioni di Cauchy-Riemann

Teor. Se f è differenziabile allora anche ν e v lo sono.

Condizioni di Cauchy-Riemann: ∂ν/∂y = -∂v/∂x, ∂ν/∂x = ∂v/∂y.

Teor. Se f è differenziabile allora ν, v sono differenziabili e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann. Vale il viceversa.

Osservazioni sul quadrato

Oss: se ν, v : ℝ² → ℂ

• ∂∆ν = ∂^2;ν/∂x² + ∂^2;ν/∂y² = 0
• ∂∆v = ∂^2;v/∂x² + ∂^2;v/∂y² = 0

Teoremi

TEOR. Sia Ω ⊂ (ℝ²) tale che Δ u = 0, allora ∃ _h armonica coniugata a meno di una costante.

TEOR. (Occorre l'estensione a ') Sia ƒ: ℝ ⟶ℝ differenziabile. Se &exists; ϕ ∈ (_R) tale che ϕ_|R = ƒ allora ϕ è unica.

TEOR. Sia ƒ: ℝ ⟶ℝ e sia ƒ analitica, allora esiste unica estensione di ƒ in .

Punto singolare

Def. Diciamo che una funzione ƒ ha polinomi (multivoca a più valori) quando girando attorno all'origine assume valori diversi nello stesso punto.

Indice di avvolgimento

γ(b)_2πˉ γ(a) indica il numero dei giri della funzione attorno a 𝕫₀.

Regione semplice

Def. La regione semplice è una regione di spazio contenuta in una curva regolare, chiusa e semplice.

Teorema (Integrale nullo di Cauchy)

Sia (A ⊂ ℂ) una regione sezionale. Sia ƒ ∈ (A) e &gammadbl; una qualunque linea chiusa contenuta in A allora: ∮&gammadbl; ƒ(z) dz = 0

Primitiva

Def. Sia ƒ ∈ (A). Se ∃ϕ∈(A) tale per cui ƒ(z) = ϕ(z) diremo che ϕ è una primitiva di ƒ.

Teor. Sia A un aperto e sia f ∈ H(A). Allora ∃ primitiva F se e solo se le due forme differenziali sono esatte.

Cor. Se A è semplicemente connesso : f ∈ H(A) ⇔ ∃ f ammette primitiva.

Teoremi su contorni multipli

Teor. Sia A aperto semplice, f ∈ H(A) ∩ C₀(A) Allora ∮_∂A f(z)dz = 0.

Teor. Sia A un aperto a contorno multiplo. Sia f ∈ H(A) ∩ C₀(A) Allora ∮_∂A f(z)dz = (∮ f(z)dz - Σ ∮ f(z)dz = 0).

Teorema (Formula integrale di Cauchy)

Sia A ⊂ C, A aperto semplice e sia f ∈ H(A) ∩ C₀(A) Allora ∀z₀ ∈ A f(z₀) = ¹/₂_πi ∮_∂A f(z) ¹/₍z-z₀₎ dz.

Cor. Una funzione f ∈ H(A) è univocamente individuata da f ∂A. Sia A un aperto semplice e siano f,g ∈ H(A) ∩ C(A) tali che f≡g su ∂A allora f ≡ g in A.

Teorema di Weierstrass

Sia A ∈ C aperto (e diverso dall'insieme vuoto) e sia f ∈ H(A), allora in ogni punto z₀ ∈ A f è rappresentabile in serie di potenze:

f(z) = Σ_n a_n(z-z₀)ⁿ dove a_n = ¹/_2πi ∫_∂wm,n f(w)ⁿ dw per contenuto in w₀ e z_0∉A è un intorno di z₀ dove la serie al variare di z è tale da avere raggio di convergenza w₀ contenuto in A.

Corollario (Calcolo delle derivate)

f⁽ⁿ⁾(z₀) = ! / (2πi) ∫(f(w) / (w - z₀)ⁿ⁺¹) dw ⇒ f⁽ⁿ⁾(z₀) = n! / (2πi) _|−|∫(f(w) / (w - z))ⁿ⁺¹ dw

Punti singolari

Def. Si chiama punto singolare di f∈H un punto dove non è possibile prolungare analiticamente la funzione.

Punti singolari isolati Def. Si chiama punto singolare isolato di f∈H un punto singolare che ha un intorno privo di altri punti singolari.

Teorema (Serie di Laurent)

Sia A = {z ∈ ℂ: 0 < |z| < R}, f ∈ H(A).

∃ρ una circonferenza con r < ρ < R

Allora ∀z ∈ A f(z) = ^∞Σ_n=-∞ a_n(z - z₀)ⁿ, a_n= 1 / (2πi)∮(f(w) / (w - z₀)ⁿ⁺¹) dw ⇒ ^∞Σ_n=0 + ^-1Σ_{n0, f ∈ H({1/z | 1/|z|<R}), oppure f(1/z) ha una singolarità isolata in z = 0.}

Def. Se ^∞Σ_n=0 = k / (z^n+m) si dice che il polo è di ordine m.

Teorema dei residui

Teor. Sia z₀ ∈ ℂ una singolarità isolata per f.

Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. f ha un polo di ordine m in z₀.
2. (z-z₀)^m f(z) ⟶ ∞ per z⟶z₀.
3. (z-z₀)^m f(z) ha una discontinuità eliminabile in z₀.
4. f(z) ha in z₀ uno zero di ordine m.

Se z₀ è singolarità essenziale per f allora f(1/z) avrà una singolarità essenziale in 0; altrimenti non è singolarità isolata.

Proprietà dei residui

PROP. Se z₀ è singolarità essenziale per f allora Cl (f,z₀) = ℂ ovvero ∀w ∈ ℂ ∃ {z_n} z_n⟶z₀ e f(z_n)⟶w

Se z₀ è singolarità isolata per f:

1. Finito ⟹ singolarità eliminabile
2. Infinito ⟹ polo
3. ∞ ⟹ essenziale

Definizione di residuo

1. z₀ singolarità isolata per f, f(z)=∑_n∈ℤa_n(z-z₀)ⁿ a_-1 = ¹/_2πi∮ f(w)dw = Res (f,z₀)

a_-1 chiamato residuo integrale di f in z₀.

Teorema dei residui

TEOR. Sia f∈Ꮛ(1/z | ℝ) e sia ∑_n∈ℕ c_nz^-n la serie di Laurent di f in un intorno di infinito allora ∀S⊂ℝ Res (f∘φ, ∞)=-¹/_2πi ∮_∂φ f(z)dz

Proprietà dei residui

1. Se z₀ è singolarità eliminabile per f ⇒ Res(f, z₀)=0
2. Se z₀ è polo del 1^o ordine per f ⇒ Res(f, z₀)≠0
3. Se ∞ è zero del 1^o ordine per f ⇒ Res(f, ∞)=lim_z→∞z f(z)≠0
4. Se ∞ è zero di ordine m si pone g(z)=(z-z₀)^mf(z) ⇒ Res(f, z₀)=-8^m-1(1/n-1)!
5. Se ∞ è zero di ordine > 1 per f ⇒ Res(f, ∞)=0
6. Se z₀ è un polo del 1^o ordine per f ⇒ Res(f, z₀)=lim_z→z₀(z-z₀) f(z) Vale la regola di de L'Hôpital Res(f(1/z),∞)=-Res(z²f(z),0)

Teorema dei residui

Supponendo che in x f abbia un numero finito di singolarità non eliminabili:

∮ f(z)dz=Σ∫ f(z)dz=2πi Σ Res(f, z_i)

Se le comprendono tutte in una x₀ abbastanza grande avrò al suo esterno solo ∞ dati:

Σ Res(f,z_j)+ Res(f, ∞)=0

L'integrale di Riemann fa una partizione del dominio.

L'integrale di Lebesgue fa una partizione del codominio.

Th. Integrale nullo di Cauchy

Sia A una regione semplice C in ℂ, f ∈ H(A), γ una linea chiusa C in A.

⇒ ∮_γ f(z) dz = 0

Dim. Parametrizzo γ: z = γ(t) = {x(t), y(t)} con t ∈ [a,b] e γ(a) = γ(b)

Allora: ∮_γ f(z) dz = ∮_a→b [u(x,y) x' - v(x,y) y']dt + i ∮_a→b [v(x,y) y' + v(x,y) x']dt == ∮_a^b [u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))](x'(t)+iy'(t)) dt= ∮_a^b [u(x,y) x' - v(x,y) y']dt = ∮_γ (u dx - v dy) + i ∮_γ (v dx + v dy) == 0

Condizioni di Cauchy-Riemann: u_x = v_y, u_y = -v_x

Th. Se f ∈ H(A) e ⊂ Ā, allora ∫_a^β f(z) dz = 0

TEOR. SIA NEℂ²(M²) TALE CHE Δu=0 DIM.IM{u+iv}={\bar{v}}, RE{v}={ux}

Teoremi e corollari

TEOR. SIA :ℝ→ℝ DIFFERENZIABILE. SE = ALLORA È UNICA.

TEOR. SIA A UN APERTO E SIA ∈H(A). ALLORA CORL. SE A È SEMPLICEMENTE CONNESSO:

TEOR. SIA A UN APERTO A CONTORNO MULTIPOLO, SIA ∈H(A) INTERSECT ℂ(Ā)