Analisi matematica 2

Analisi II

* Integrali Generalizzati *

Se _c∈[_a,_b] f è integrabile in [_a,_b]

∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx

spostando il punto c l'area non cambia perché sotto il punto l'area è nulla. (Caso eliminabile o di 1^o salto)

Se f ha un numero finito di discontinuità eliminabile o di salto allora f è integrabile

∫_c^b f con c→∞

lim f(x) = ±∞

La funzione è facilmente integrabile in [0+ε,_b] Ma quando ε→0?

Se ε→0 è come se avessimo un rettangolo con base nulla e altezza infinita, è una forma indeterminata.

∫₀^∞ sen^x dx?

∫₀^∞ 1/ _x sen ^x dx?

∫_ε^a dx, ∫_ε^a f(x) sen ^x dx, + ∫_ε^a sen 1/x dx

0, ∀ ε>0

∫₀^ε 1 dx ≤ ∫₀^ε sen 1/ ^x dx ≤ ∫₀^ε 1 dx

−ε ≤ ∫₀^ε sen 1/ ^x dx ≤ ε => é una parte che tende a zero

La funzione è infatti annullata

Se ƒ∈C⁰(a,b] => ∞ lim x->a⁺ ƒ(x) ≠ ±∞ allora ƒ è integrabile su [a, b]. ∀ε > 0 se esiste finito lim ε->0∫_ε^b ƒ(x)dx poniamo ∫_a^b ƒ(x)dx.

Diremo che ∫_a^b ƒ converge e che ƒ è integrabile in senso improprio (generalizzato) su [a,b].

Es. Sen x è integrabile su [0,π].

Es. ∫₀¹ dx/x^α : è una scelta di misurare con che velocità tende all’infinito (as>0).

∫₀¹ dx/x^α = lim ε->0 ∫_ε¹ dx/x^α, i α ≠ 1 [x^-α+1/-α]_ε¹

α.

-1/-α ([-ε^-α+1]-1)/-= ε^-α+1-1)=>∞

2) 0 +∞

Quindi

∫₀¹ dx/x^α = +∞ se α se α = se 0 1

CRITERIO DI CONFRONTO

Se ƒ, g ∈ C⁰(a, b]; 0 ≤ ƒ ≤ g m (a, b] allora

∫_a^b g(x) dx < ∞ => ∫_a^b ƒ(x) dx < ∞

∫_a^b g(x) dx = ∞ => ∫_a^b ƒ(x) dx = ∞

Se 0<9≤1 posso dire che

|9^k+1|≤9^k

∑9^k+1

→k=1

infatti con q=1₃

9^k+1

1₉

anche 9^k+1 è trascurabile (k>0)

infinite con q=2

9=1

_{S0=1 S1=0 S2=1 S3=0}

con 9=1

limite

è una successione indeterminata tra 0 e 1

infinite

se 9=1

d. diverge

convergente

oscilla tra -∞ e +∞

Carattere di una serie può essere convergente, divergente o

indeterminata a seconda del comportamento delle somme parziali.

Se ∑_n convergente → lim (a_n-a₀)- b_n)

infatti → d_n = b-B= -B= 0 0

Proprietà:

∑∑_n \nabla

→lim S_n

se il limite delle successioni delle somme parziali è finito

Sn+1 ha lo stesso ragionamento

Se Sk fornisce un'approssimazione per eccesso (stretta) Sn si ottiene qualcosa

Se Sk+1 fornisce un'approssimazione per difetto

• Se mi fermo a 37, è un valore più piccolo di quello che ho indicato la serie

_n=0 Σ (-1)ⁿ a_n = lim _k→∞ Σ (-1)ⁿ a_n = S

Sn+1 ≤ S ≤ S2k ∀k ∈, almeno due mm devono necessariamente te entero consecutive), e anche è di ordine pari

→ S2k+2 ≤ S2k+1

è meno perché è di ordine dispari

Alla stesso modo è crescente la successione delle succulente

• numerali di ordine dispari
• S2k+1 ≤ S2k+3

S0 ≥ S2 ≥ S2 ≤ S6 ≥ ... ≥ S2k+1 ≤ S2k+1 ∀k ≥ 3

S2k+2 ≤ Sok ≤ S2k

• S2 ≤ S0 ≤ S5 ≤ 2 S ≤ S2k+1, quindi

• Se Sn ≥ (-1)ⁿ / n converge
• Se voglio approssimare un numero al 10^-6 devo prendere il primo milione di numeri
• al primo termine con 10^-6 è la mia approssimazione

usiamo le coordinate polari

x = x₀ + ρcosθ

y = y₀ + ρsenθ

(x,y)

(x₀,y₀)

(x - x₀)² + (y - y₀)² = ρ²

(x,y) → (x₀,y₀)

lim

ρ = 0

affinché sia un numero esposto finito NON deve dipendere da θ.

θ indica la direzione. Possiamo muoverci in Ϛ⁰ modi per giungere a zero e non deve interessare come ci arriviamo.

→ il limite non esiste perché c’è dipendenza da θ

e quindi dal modo in cui si avvicina a quel punto

lim_{(x,y)→(0,0)} 2x²y

x² + y²

= ⁰/₀ f.i.

x = 0 + ρcosθ

y = 0 + ρsenθ

lim_{ρ = 0} ^{2ρ2cosθ ρsenθ}/_{ρ²cos²θ + ρ²sen²θ} = lim_{ρ = 0} ^{2ρ2ρcosθ ρsenθ}/_ρ² = 2 cosθsenθ

-1 ≤ cosθ senθ ≤ 1 sempre è sempre limitato, la dipendenza da θ è molto debole

→ lim_{(x,y)→(0,0)}

x⁴

x² + y²

= lim_{ρ = 0} ^{ρ3cosθsenθ}/_ρ² = cosθsenθ

c’è dunque una dipendenza da θ?

f(x,0) = 0 ∀x ≠ 0

f(0,y) = 0 ∀y ≠ 0

f(x,x)

x²

2x²

-¹/₂ → è l’altezza massima

con θ = π/5

lim_{ρ = 1/2}√3

può essere anche negativo

y → θ → 0

_δy → 0, θ = 0

_δx → 0, θ = π/2

_δ(-x) → 0, θ = π

_δ(-y) → 0, θ = 3π/2

Prendiamo il versore [cosθ sinθ]

lim _δ f(x₀ + δcosθ, y₀ + δsinθ) - f(x₀, y₀)

δr = [δx δy]

^δf⁄_{δ θ} → ∇f(x₀, y₀) [cosθ sinθ]

REGOLA DEL GRADIENTE

Perché è fondamentale che ci sia un piano tangente?

È come un'approssimazione prima collina ed un piano inclinato

v_θ

• V_θ [cosθ sinθ]

^δf⁄_δθ (x₀, y₀) = lim

cioè è la pendenza istantanea della funzione in direzione θ

_δθ

∃ C ₁ (A) ⟺ f ∃ C ₁ (A)

PROPRIETÀ

se f_x, f_y ∃ C₀ (A) ⟺ f ∃ C₁ (A)

es. f(x,y)=e^x + y² f_x=e^x f_y=2y ⊃ df⁄_sθ (0,0), ?

V_θ=[cosθ sinθ] = df

V_θ[cosθ sinθ] =

∇f (0,0) V_θ = cosθ

^δf⁄_δθ (x₀, y₀) = f_x (x₀, y₀) cosθ + f_y (x₀, y₀) sinθ θ ∃ [0, 2π]

Derivate: somma delle derivate parziali che dipendono solo da θ

Quali sono le max e le min di questa funzione?

g(θ)=Acostheta+Bsinθ

g'(θ) = Asinθ+Bcosθ=0 → Asinθ=Bcosθ

• se f_x=f_y=0 → ⊃ df⁄_sθ = 0 ∀ V_θ poiché f(x₀, y₀) è piano
• se A!=0

senθ =

-B _^Acosθ