Analisi 3: elementi di analisi complessa e funzionale, trasformata di Fourier e Laplace

Analisi Complessa:

f: A ⊂ ℂ → ℂ

Def. f è differenziabile in z₀ ∈ A se ∃ f'(z) ∈ ℂ

tale che f(z₀ + h) - f(z₀) = h f'(z) + o₁(A)

per h → 0 (con h ∈ ℂ)

ovvero:

lim_h→0 (f(z₀ + h) - f(z₀))/h = f'(z)

Teor. (Weierstrass) Se f è differenziabile allora f sarà anche una funzione analitica

Def. Se f è differenziabile ∀ z₀ ∈ A aperto diretto che f è olomorfa in A e scriveremo f ∈ H(A)

f: A ⊂ ℂ → ℂ , f(z) = f(x + iy) ≡ g(x, y) + i h(x, y)

f_y = i f_x , u, v: ℝ² → ℝ , u∈ Re( f ) v∈ Im( f )

Teor. Se f è differenziabile allora anche Re f e Im f lo sono

Condizioni di Cauchy-Riemann:

• u_y = -v_x
• u_x = v_y

Teor. Se f è differenziabile allora u e v sono differenziabili e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann vale il viceversa

Oss: se u, v ∈ C² allora:

• ∆u = u_xx + u_yy = 0
• ∆v = v_xx + v_yy = 0

N.B. u e v si chiamano armoniche coniugate

TEOREMA

Sia U ⊂ ℝ² tale che ∂U ≠ ∅ allora ∃!g armonica coniugata a h meno di una costante.

TEOREMA

Sia f: A → ℝ ⟹ ℝ differenziabile. Se ∃ f ⊂ H(ℝ) tale che ∂Im = f Insieme di successioni. Allora φ unico A.

TEOREMA

Sia f: m^n ⟹ ℝ ⟹ ℝ e sia f analitica. Allora esiste unica estensione di f in G.

DEFINIZIONE

Diciamo che una funzione f ha polinomio (molteplice o punti valori) quando girando attorno all'origine assume valori diversi nello stesso punto.

Indice di avvolgimento:

• ∫_β q_α - q_α dt / 2πt
• Indica il numero di g(u) della funzione attorno a 2o.

DEFINIZIONE

La regione semplice è una regione di spazio contenuta in una curva regolare, chiusa e semplice.

TEOREMA

Sia A ⇒ una regione semplice. Sia f ⊂ H(A) e ∂ una curva lineare chiusa contenuta in A allora ∮ δ f(z) dz = 0.

DEFINIZIONE

Sia f∈H(A). Se ∃F∈H(A) tale per cui F'(z) = f(z) diremo che f è una primitiva di F.

Proprietà

1. Se _z0 è singolarità eliminabile per f ⇒ Res(f, z₀) = 0
2. Se _z0 è polo del 1^o ordine per f ⇒ Res(f, z₀) ≠ 0
3. Se ∞ è zero del 1^o ordine per f ⇒ Res (f, ∞) = lim z_→∞ (z f(z)) ≠ 0
4. Se ∞ è zero di ordine m si pone g(z) = (z - z₀)^m f(z) ⇒ Res(f, z₀) = g^m-1(z₀) / (m-1)!
5. Se ∞ è zero di ordine > 1 per f ⇒ Res(f, ∞) = 0
6. Se ∞ è un polo del 1^o ordine per f ⇒ Res(f, z₀) = lim_z→z0 (z - z₀) f(z)
7. Vale la regola di de l'Hôpital:
8. Res(f(1/z), ∞) = -Res(z² f(z), 0)

Teor (dei residui):

Supponendo che in X f abbia un numero finito di singolarità non eliminabili. ∮_∂X f(z)dz = Σ f(z_i)dz = 2πi Σ Res(f, z_i)

Se le comprendiamo tutte in una X₀ abbastanza grande, avrò al suo esterno solo ∞,  dunque: Σ Res(f, z_i) + Res(f, ∞) = 0

L'integrale di Riemann fa una partizione del dominio. L'integrale di Lebesgue fa una partizione del codominio.

Proprietà della Norma 1-11

• 1. |V₁|≥0 ∀V₁∈V
• 2. |V₁|=0 ↔ V₁=0
• 3. |V₁+V₂| ≤ |V₁| + |V₂|

Riscriviamo la caratterizzazione di Cauchy secondo la norma definita ∀ε>0 ∃N ∈N, n,m≥N ⇒ |x_n-y_m|<ε.

Def.

Sia V spazio vettoriale numerato. Se tutte le successioni di Cauchy convergono allora lo spazio vettoriale si chiama spazio di Banach.

Spazio finito-dimensionale: la dimensione della base è fissata un numero finito. (Es. R²)

Spazio infinito-dimensionale: può avere infinite basi (es. C([0,1]))

Quando lo spazio è infinito-dimensionale è la coppia spazio norma che definisce la completezza dello spazio normato.

Def

Sia V uno spazio vettoriale con 2 diverse norme: ||.||₁, ||.||₂

Se ∃ c>0 tale che c^-1||x||₁ ≤ ||x||₂ ≤ c||x||₁ ∀x∈V diremo che le norme sono equivalenti (le norme sono B(controllate)).

Oss: In uno spazio finito-dimensionale tutte le norme sono equivalenti.

Def.

l²={ ∑_n=1^∞ x_n² < ∞ }

Def.

Si chiama distribuzione un funzionale lineare continuo su _D(Ω)

• Δ ∈ _D'(Ω) → ( ∀_k → Ψ in _D(R) → Δ(Ψ_k)→Δ(Ψ) con Δ lineare

Notazione:

I funzionali lineari li scriveremo come:

⟨ Δ, ϕ ⟩ crochet (o dualità)

con Δ ∈ _D'(Ω) e ϕ ∈ _D(Ω)

Oss.

L_loc¹(Ω) ⊂ _D'(Ω)

Def.

Δ ∈ _D'(R) si annulla in ω ⊂ Ω ( ω aperto) se ⟨ Δ, ϕ ⟩ = 0 ∀ϕ ∈ _D(ω)

Def.

Sia W ⊂ Ω l'unione di tutti gli aperti dove Δ si annulla (W sarà un aperto)

sugg(Δ) = Ω \ W.

Def.

Detto che Δ_k → Δ in _D'(Ω) se:

⟨ Δ_k, ϕ ⟩ → ⟨ Δ, ϕ ⟩ ∀ϕ ∈ _D(Ω)

Oss.

⟨ Δ, ϕ ⟩ = ∫_Ωf Δ Ψ se Δ ∈ L_loc¹(Ω)

Def.

Sia Δ ∈ _D'(Ω) definito : D^αΔ ∈ _D'(Ω)

⟨ D^αΔ, ϕ ⟩ = (-1)^|α| ⟨ Δ, D^αϕ ⟩ ∀ϕ ∈ _D(Ω)

(Derivate distribuzionali)

TRASFORMATA DI LAPLACE:

DEF: SIA H(t) = ∫(e^-ut) ∈ L(R). Allora N è LAPLACE TRASFORMABILE.

∫(e^-stu(t)dt = U(s) = ∫(e^-st) ∀ Re(s) > la(u). E si chiama ASCISSA DI CONVERGENZA.

PROPRIETÀ:

1. L[U(t-t₀), s] = e^-st₀L(U(t), s)
2. L[e^σtU(t), s] = L(U(t), s-σ)
3. L(U(t), s) = 1/(s/ξ (U(ξt), s/ξ))

OSS.: L(U(t), s) = ∫(e^-st) (R) < Re(s) > la(u)

TEOR: SIA N ∈ L, la(N) LA SUA ASCISSA DI CONVERGENZA.

OSS.: L[∑(a_kt^k, s)] = - ∑(a_k)

Teor.

Sia u ∈ ²(R²) tale che Δu = 0

⇒ ∃!v armonica coniugata a meno di una costante

Dim.

Imponendo C-R: {v_y = u_x allora F ∈ ²(R²) ; {u_y = (-v_x)

Teor.

Sia f : ℝ → ℝ differenziabile. Se ∃φ∉H(ℝ) tale per cui

φ`_R = f allora φ è unica.

Teor.

Sia A un aperto e sia f ∈ H(A). Allora

∃ primitiva di F ⇔ Le ² forti differenziali sono esatte.

Cor.

Se A è semplicemente connesso : f∈H(A) ⇔ f ammette primitiva

Teor.

Sia A un aperto a contorno multiplo, sia f∈H(A)∩^°(A)

Allora ∮_∂A f(z) dz = ∮_∂ f(z) dz - Σ_i ∫_∂i f(z) dz = 0

Cor.

f⁽ⁿ⁾(z_o) =

Teor. (Laurent)

Sia A⊆{z : |z - z_o| < R} , f ∈ H(A) , ∂_β una circonferenza di

raggio x ^{( < R)}. Allora ∀z∈A , f(z) = Σ_n=-∞^+∞ (a_n(z - z_o)ⁿ) (con n solion)

Teor.

Sia z_o∈ C una singolarità isolada per A. Allora sono equivalenti:

1)

2)

3) a_-1z=∞