Lezioni, Geometria lineare

GEOMETRIA

0 ≤ k < 1      k > 1

• omotetia = contrazione o dilatazione
• riflessione k < 0
• traslazione

• corrispondenza biunivoca, ma fa perdere informazioni e mantiene le proporzioni
• affinità = trasformazione che mantiene le proporzioni

es. omotetia + traslazione     x = kx + q

es. non affinita:     x' - cosx     perché non mantiene le proporzioni

il PIANO

ordinata

ascissa

(x') ⎧ cos θx + sin θy

y' ⎪ -sin θx + cos θy

(x')⎨ cos θx + sin θy

y' ⎪ sin θx + cos θy

rotazione di angolo θ

θ ∈ [0; 2π]

rotazione di angolo θ

AFFINITÀ

{  x' = ax + by + c

y' = dx + ey + f

condizione fondamentale ae - bd ≠ 0

distanza th pitagora

A₁  (x₁, y₁)

A₂  (x₂, y₂)

A₁A₂ = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + …(z₂ - z₁)²

media th TALETE

X_M = ^{X₁ + X₂} /₂

Y_M = ^{Y₁ + Y₂} /₂

VETTORI

spostamento di A₁ ad A₂

A₁ (x₁, y₁)

A₂ (x₂, y₂)

A₁A₂ ⎛ ^{x₂ - x₁} ⎞

⎜ ^{y₂ - y₁} ⎟

GEOMETRIA

0 ≤ k < 1 k > 1

• omotetia = contrazione o dilatazione
• riflessione k < 0
• traslazione

corrispondenza biunivoca = no fa perdere informazione e mantiene le proporzioni

affinità = trasformazione che mantiene le proporzioni

es. omotetia + traslazione x = kx + q

es. non affinità x' = cosx perché non mantiene le proporzioni

il piano

• rotazione di angolo θ
• θ ∈ [0, 2π]
• rotazione di angolo θ

affinità

{ x' = ax + by + c

  y' = dx + ey + f

condizione fondamentale ae - bd ≠ 0

distanza th pitagora

A₁ (x₁, y₁) A₂ (x₂, y₂)

• indica sqrt((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

media th talete

X_M = (x₁ + x₂)/2

Y_M = (y₁ + y₂)/2

vettori

• spostamento di A₁ ad A₂

➔ (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

spostamente obliquo

A₁ (a_x + b_y + c, dx₁ + ey₁ + f)

A₂ (a_x + b_y + c, dx₂ + ey₂ + f)

A₁A₂ (2° componente - 1° componente)

A₁A₂ = _. spost. obliquo

proprietà delle trasformazioni lineari:

• Φ (u+v) = Φ (u) + Φ (v)
• Φ (λu) = λ Φ (u)

EQ. RETTA NEL PIANO

può definirsi basato su due punti distinti o un punto e un vettore

defin due paio A (x_A y_A) B (x_B y_B)

ricavo la retta

(x_B - x_A) (y - y_A) = (y_B - y_A) (x - x_A)

dato un pto e un vettore A (x_A y_A) v (^α/_β)

ricavo la retta

{ x = x_A + αt

y = y_A + βt

ricavo eq. cartesiano

t = x - x_A/_α

t = y - y_A/_β

⇒ ax + by + c = 0

eq parametric

[ X ] = [ x_A ] + t [ α ]

[ Y ] [ y_A ] _{[ β ]}

I [ x ] = [ x₀ ] + t [ - β ]

_{[ y ] [ y0 ] [ α ]}

• eq. cartesiana
  • ax + by + c = 0
  • -bx + ay + c = 0

• c e b invertiti e a' cambiato di segno

Vettori

U + v vettore

λU vettore

U · V scalare → se U⊥V U · V = 0

Direzione Verso Norma (Modulo)

Versori

• j_y(ordinata)
• i_x(ascissa)

se |U| = 1 U è versore

i e j sono versori di norma 1

Lineariamente indipendenti se n vettori n gradi di liberta

Lineariamente dipendenti se uno si scrive in funzione degli altri

Prodotto Scalore

• U·V = |U|·|V|·cos α(U∧V)