Lezioni, Geometria lineare

GEOMETRIA

• Omotetia
• Riflessione
• Traslazione

Contrazione o dilatazione

Corrispondenza biunivoca = non fa perdere informazioni e mantiene le proporzioni

Affinità = trasformazione che mantiene le proporzioni.

Es. omotetia: traslazione x = k x + q

1. Il Piano

Ordinata e ascisse

Rotazione di angolo θ

θ ∈ [0;2π]

Affinità

Condizione fondamentale ad - bc ≠ 0

Distanza tra pizzacones

Media tra Tálete

Vettori

Spostamento di A₁ ad A₂

spostamento obliquo

A₁ (a_x1 + b_y1 + c) dx, ey₁ + f

A₂ (a_x2 + b_y2 + c) dx, + ey₂ + f

(2 componente - 1 componente)

spost. orizz.

spost. vert.

A₁A₂ = (∂ (x₂ - x₁) + β (y₂ - y₁))

A₁A₂ = (∂ (x₂ - x₁) + e (y₂ - y₁))

L₁ non tiene conto di c ed f

che sono i componenti della traslazione

proprietà delle trasformazioni lineari:

Φ (u+v) = Φ(u) + Φ(v)

Φ (λu) = λ Φ(u)

EQ. retta nel piano

può definire bastano due punti distinti

un punto e un vettore

detti due punti A (x_A, y_A) B (x_B, y_B)

ricavo la retta (x_B - x_A) (y_B - y_A) = (y_B - y_A) (x_B - x_A)

dato un punto e un vettore A (x_A, y_A) [ ]

ricavo la retta

• x = x₀ + ∂t
• y = y₀ + βt

ricavo eq. cartesiana

t = ( x - x_A ) / 2 t = ( y - y₀ ) / β

x - x_A (y / y_A) ⇒ ∂x + by + c = 0

eq parametriche

• x = x₀ + ∂t
• y = y₀ + βt

[ x ] = [ x_A ] + t [ ∂ ]

[ y ] [ y_A ] [ β ]

de β inverto e cambio segno αβ

{ 1 } [ x ] = [ x₀ ] + t [ -β ]

[ y ] [ y₀ ] [ 2 ]

NB: l'argomento è periodico di 2π

Formula di De Moivre

zⁿ = [ (cos θ₀ + i sen θ₀) ]ⁿ (cos nθ₀ + i sen nθ₀) = ωⁿ

Formula esponenziale

e^iθ = cos θ + i sen θ

z = ρe^iθ

e^iθ · i = i e^iθ

e^iπ = -1

e^z = e^x+iy = e^x · e^iy

|e^iz| = e^x · argomento = φ

e^-iθ = cos θ - i sen θ

e^iθ = e^-iφ, entrambi hanno modulo 1

cos θ = (e^iθ + e^-iθ)/2 = Ch (iθ)

sen θ = (e^iθ - e^-iθ)/2i = Sh (iφ) = i Sh (iθ)

z | 2z₀ | = 2ρ · e^iθ | 2z₀ = ρ z₀ e^iθ+φ₀

moltiplicare per z₀ = dilatare il modulo per un fattore ρ₀ e ruotare per un angolo θ

N.B. un numero reale ha sempre n radici ennesime che corrispondono a vertici di un poligono (n) regolare

ω^k = { ω_k = e^iφ_k | ω | ωⁿ e^φ₀+2π/n , ... , | ωⁿ e^{iθ₀+(2π+θ₀)/n} }

Teorema fondamentale dell'algebra:

Ogni equazione algebrica di ordine n ammette nel campo complesso C n soluzioni (contando la molteplicità).

• Teorema di Rouché-Capelli

Ax = b

(min) n m (max)

rk A = rk (A|b) per avere soluz

per calcolare le soluz

escludo tengo solo le righe che danno info (quelle del rk max).

tolgo quelle analog. a sx solo le cifre che sono nella sotto matrice con rk max le altre le sposto a dx (cambiando segno)

Trovare la soluz in funzione delle variabili indipendenti applico Cramer

N.B. det A se quadrata

se non quadrata non usa Cramer

1. 2 soluz x 0 = b o k b 2 soluz. 3 soluz x e R
2. b 0 soluz phi soluz

• se a 0 per CAPELLI rk A = rk

Ax = b rk (A|b) rk = 0 2

det A 0 3 soluz x = A inv b

det A 0 rk A = rk (A|b) x seconda soluz

rk A =/ rk (A|b)

phi soluz

se det A a O

applico Cramer xk =

xk = det Ak / det A

• Spazi Vettoriali

lo spazio vettoriale è un insieme in cui sono definite le operazioni di somma e di moltiplicazione

V,u,x

1. u + v x

V o x A

V A E

V u E C

1. u A + mu v (combinaz lineare) E x

R spazio vettoriale

Il nucleo è la parte iniettiva

Quando l'immagine è suriettiva?

f suriettivo ⇔ ∀ b ∈ ℝ^m ∃ x ∈ ℝⁿ tale che f(x) = b

A x = b

Passaggio spodamenti controimmagine?

Il contro immagine ⇔ Rk (A) = Rk (A|b)

f suriettivo ⇔ ∀ b ∈ ℝ^r Rk (A) = Rk (A|b)

A B b

b abspado da A

∀ b ∈ Comb. lineare di A

b ∈ span {colonne A} = Im f

Im, = rk

Ker_f = n - r

dimesione dello spaso delle colonne è uguale all'immagine

Im = ss v di ℝ^m (dell'insieme di arrivo)

• Teorema

dim (Ker f) + dim (Im f) = n

Proposizione A trasforma ℝ n in colonne di A

• Iniettiva Ker_f = 0
• Suriettiva Im_f = im
• Binivoca O + n = n

n = colonne

• Iniettiva ⇔ Ker_f ∈ O
• Suriettiva ⇔ dim (span {colonne di A}) = n
• Binivoca O + n = n

• se λ = 0 Ax = λx = 0 gli autovalori legati a λ = 0 sono
• quelli del nucleo

Proprietà: A² (mat) (3×3):

tr (A) = ∑_i=1⁴ ξ_i

elementi sulla diagonale

(in questo caso (λ μ)_{4 4})

∑_i=1⁴ di_i è la somma degli autovalori

tr A = ∑_i=1⁴ ξ_i

∀ matrice diagonale

det A = ∏_i=1⁴ λ_i

• A e B hanno gli stessi autovalori
• due mat. simili hanno stesso polinomio caratteristico p_n(A)
• le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori
• l'autospazio relativo a un autovalore λ è il nucleo di A-λI
• es: --|------| [⋃|⋃|⋃|⋃] [sen equivalente dilatazione]
• dominati

Scopo: trovare n autovettori linearmente indipendenti (costruire una base di autovettori)

se gli autovalori non sono reali è impossibile

se ∃ autovalori R → imp.

Anche se hai gli autovalori R, ne è detto che sia possibile

Proprietà: i autovalori corrispondono a due autovalori distinti sono indipendenti

det (A - λI) = ∏_i=1⁴ (λ_i - λ)

p_n(λ) = (-1)ⁿ det (A - λI)

multiplicatori

min.

proprietà algebrica di:

• massima potenza di λ_i che appare nel polinomio
• è un numero intero compreso tra 1 e n
• η_i λ_i^n-2x + λ = (-λ - λ)t

se n = 1, α = λ, α² = λ, α = ±λ vero solo nel caso in cui α = ±λ

se n = 2, A =

(^{a b}_{c d}), det A = ad-bc

A^-1 = ¹ ( d -b )

⎟⎜ ad-bc ⎟⎜ -c a

A^T = ( a b )

⎟⎜ c d⎟⎜, A^-1 = ¹ ( d -b ) = ^a ( d -b )

⎟⎜ ad-bc⎟⎜ -c a ⎟⎜ ad-bc⎟⎜ -c a

Il prodotto degli autovalori = det

se ortogonale gli autovalori possono essere solo ±1, -1, ➔ det = ±1

(^{a b}_{c d}) (^{d -b}_{-c a}) = (^{a c}_{b d})

d a + c (-b)

-b c + a d ➔ (ad-bc)² = 1

+1 ➔ 2 = 0 b = -c ( cos θ -sin θ )

-1 ➔ 2α = -d b = c ( sin θ cos θ )

rotazione di θ

(^{a b}_{b -a}) det = 1 (β² + b²) = 1

(^{a b}_{b -a}) det = -1 tr = 0 det = -1

λ₁ + λ₂ = 0 ( λ₁ = 1 )

λ₁λ₂ = -1 ( λ₂ = -1 ) feccia una simmetria ortogonale

Ogni matrice simmetrico ( A^T = A ) è diagonizzabile

e ammette sempre autovalori reali.

Sia A simmetrica ➔ λ_i e λ₂ autovalori disaih:

( A - λ_iI ) x₁ = 0 ( A - λ₂ I ) x₂ = 0

raccia prodotto scalare tra _{x1 e x1, e moltiplica per λ}

λ₁x₁•x₂ - Ax₁•x₂ = λ₁A x₂ ➔ x₁Ax₂ = λ₂ x₁•x₂ ➔

0 ➔ ( λ₁ - λ₂ ) x₁ • x₂ = o ➔ x₁ • x₂ = 0 x_1 ⊥ x_2 perpendicolairi

- Det due autovalori disahi in una mat. simmetrico sono ⊥ fe lora