5 eserci su funzioni integrali: trovare dominio, studiare continuità e derivabilità, trovare la tang

Esercizi su funzioni integrali

di Francesco Camia

Gli esercizi che seguono riguardano la ricerca del dominio e lo studio di continuità e derivabilità di funzioni integrali, talvolta anche con quesiti che coinvolgono il calcolo della derivata di tali funzioni.

1. Studio della funzione integrale

Data la funzione definita da calcolarne dominio, studiarne continuità e derivabilità e trovare l’equazione della retta tangente al suo grafico nel suo punto d’ascissa .

Essendo la funzione integranda (della funzione integrale) definita e continua in tutto R, la funzione l’argomento del integrale è definita, continua e derivabile in tutto R con derivata seno;

è reale, continuo e derivabile per ogni x reale, quindi F è definita, continua e derivabile in tutto R.

Essendo F una funzione composta, si ha:

,

ed essendo risulta ,

l’equazione della retta richiesta è quindi

;

ossia .

2. Dominio, continuità e derivabilità

Trovare dominio e studiare continuità e derivabilità della funzione trovare l’equazione della tangente al suo

grafico nel suo punto di ascissa 2.

Conviene scrivere, grazie a una proprietà degli integrali definiti, . Essendo la funzione integranda (della funzione integrale) definita e continua in R, la funzione integrale è continua e derivabile in R con derivata ; essendo poi x continua e derivabile in R, si ha che G è continua e derivabile in R con derivata e risulta:

3

–

La retta richiesta ha equazione y 8 = - 4 ( x - 2), da cui y = - 4x + 16.