Campi conservativi 5

Studiare la conservatività del campo F

F(x, y) = ^x⁄(x² + y²) i + ^y⁄(x² + y²) j.

Il campo dato è definito e regolare su ℝ² \ {(0, 0)}, che non è un insieme stellato.

Soluzione

Vale comunque l’uguaglianza delle derivate in croce, infatti

∂F₁⁄∂y = −2xy⁄(x² + y²)² = ∂F₂⁄∂x.

Tale condizione però non equivale, in questo caso, alla conservatività del campo.

Per verificare se F è conservativo su tutto il dominio andiamo a cercare i potenziali.

Sia Φ un ipotetico potenziale; allora deve essere

∂Φ⁄∂x = x⁄(x² + y²),

da cui, integrando,

Φ(x, y) = 1⁄2 log(x² + y²) + g(y),

con g funzione arbitraria di y.

Si deve avere poi

∂Φ⁄∂y = y⁄(x² + y²).

y⁄(x² + y²) + g′(y) = y⁄(x² + y²),

da cui g′(y) = 0 e quindi g = c, c ∈ ℝ.

Dunque F è conservativo ovunque e ammette potenziali dati da

Φ(x, y) = 1⁄2 log(x² + y²) + c, c ∈ ℝ.