Seno: definizione e funzione inversa

In questi appunti troverai informazioni generali riguardanti le funzioni goniometriche, con un attenzione particolare sulla funzione seno e sul suo inverso, con spiegazione delle proprietà

Cosa sono le funzioni goniometriche e a cosa servono

Le funzioni matematiche si dividono in due grandi categorie: le funzioni trascendenti e le funzioni polinomiali.

Le funzioni goniometriche sono un sottogruppo delle funzioni trascendenti caratterizzate dalla presenza di un angolo come argomento.

Quest'aspetto le rende particolarmente utili in alcune applicazioni, come lo studio dei triangoli e l'analisi dei fenomeni periodici. Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono molto usate anche in fisica, per descrivere moti periodici come quello sinusoidale e cosinusoidale.

Seno e coseno, tuttavia non sono le uniche funzioni goniometriche: molto utilizzate sono anche le funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante. Esse dipendono sempre dalla funzione seno e dalla funzione coseno.

La funzione seno: caratteristiche e derivata]

La funzione seno è una delle principali funzioni goniometriche. Dal punto di vista matematica essa può essere così descritta:

.
In questo caso il dominio - ossia l'insieme a cui deve appartenere l'argomento della funzione seno - è pari all'insieme dei numeri reali mentre il codominio - cioè l'insieme delle immagini - è dato dall'insieme

.

Osservando la funzione è possibile comprendere che:

• la funzione non è iniettiva, in quanto è una funzione periodica di periodo
  [math]2\pi[/math]
  , per cui ad angoli distinti in R si associano gli stessi valori del seno. Ciò significa che ci sono angoli distinti che hanno la stessa immagine.
  
• la funzione, al contrario, è suriettiva, in quanto ogni numero
  [math]n[/math]
  reale compreso tra
  [math]-1[/math]
  e
  [math]1[/math]
  è immagine di almeno un angolo
  [math]\alpha[/math]

La funzione arcoseno: definizione teorica e matematica

La funzione seno non è biunivoca/biettiva, in quanto non è iniettiva: una funzione per essere invertibile dev'essere necessariamente biunivoca/biettiva. Affinchè si possa, quindi, invertire la funzione seno (e quindi scrivere la funzione arcoseno) possiamo applicare una restrizione al campo di esistenza. La soluzione è non considerare tutto il campo di esistenza (ovvero R), ne consideriamo soltanto una parte. L'intervallo che andremo a considerare sarà, quindi:

e lo chiameremo

.

La funzione seno può essere, a valle della restrizione, matematicamente descritta come:

.

Sarà quindi sia iniettiva che suriettiva, quindi biettiva e finalmente invertibile. La funzione inversa della funzione seno sarà:

:

.

La funzione arcoseno si definirà, quindi, come l'inversa della restrizione della funzione seno all'intervallo

Lo studio di funzione e la derivata dell'arcoseno e del seno

Anche le funzioni goniometriche, così come tutte le altre, possono essere coinvolte in uno studio di funzione. Uno degli step più importanti di quest'ultimo sono la ricerca dei punti particolari e lo studio della concavità. Per effettuare questi due passaggi, è necessario saper calcolare la derivata prima e la derivata seconda della funzione.

In questo paragrafo parleremo della derivata prima, ossia del tipo di derivata utilizzato per la definizione dei punti di massimo e dei punti di minimo.
Nel caso del seno, la derivata prima è molto semplice: la derivata del seno è il coseno. Per cui

.

Quando si parla invece della derivata dell'arcoseno, la situazione si complica. Poiché l'arcoseno è la funzione inversa del seno, la derivata dell'arcoseno può essere ricavata da quella del seno sfruttando il teorema per la derivata della funzione inversa. In termini matematici la derivata dell'arcoseno può essere scritta come

Per ulteriori approfondimenti sulla funzione seno vedi anche qui