Funzioni goniometriche e inverse (cotangente)

Funzioni goniometriche e inverse. (cotangente)

Funzione cotangente.

f: α ∈ R - {kπ} -> cotanα ∈ R

- La funzione non è iniettiva, in quanto è una funzione periodica di periodo π, per cui: ad angoli distinti in R si associano gli stessi valori del seno (per cui ci sono angoli distinti che hanno la stessa immagine).

- La funzione, al contrario, è suriettiva, in quanto ogni numero reale è immagine di almeno un angolo α.

La funzione non è biunivoca/biettiva, in quanto non è iniettiva: una funzione per essere invertibile dev'essere necessariamente biunivoca/biettiva.

Affinchè si possa, quindi, invertire questa funzione possiamo applicare una restrizione al campo di esistenza: ovvero, piuttosto che considerare tutto il campo d'esistenza (ovvero R), ne consideriamo soltanto una parte. L'intervallo che andremo a considerare sarà, quindi: [0; π] e lo chiameremo g.

La funzione g:

g: α ∈ [0; π] -> tanα ∈ R

Sarà sia: iniettiva che suriettiva, quindi biettiva: essendo biettiva può finalmente essere invertita. La funzione inversa sarà:

[math]g^-1[/math]

: y ∈ R -> arcocotan(y) ∈ [0; π].

La funzione arcotangente si definirà, quindi, come l'inversa della restrizione della funzione seno all'intervallo [0; π].