Tangente

Trigonometria

Appunto di Trigonometria contenente la definizione e spiegazione della tangente goniometrica, della tangentoide, e della relazione esistente tra tangente, seno e coseno. In allegato le figure esplicative ed esempi.

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Sintesi

LA TRIGONOMETRIA, LA TANGENTE GONIOMETRICA

La tangente goniometrica è una funzione che associa alla misura dell'ampiezza di un angolo α un numero reale. Per definirla si utilizza la circonferenza goniometrica descritta dall’equazione

[math]x^2+y^2=1[/math]

e di raggio = 1.

Costruita la tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A, si prolunga il segmento OB associato all’angolo α fino a intersecare la tangente nel punto T. Sapendo che OA = raggio = 1, per definizione:

[math]tan⁡α=\frac{AT}{OA}=\frac{AT}{1}=AT[/math]

Per

[math]α=0[/math]

[math]α=180°=\pi[/math]

[math]α=360°=2\pi[/math]

[math]tan⁡α=0[/math]

Per un angolo di circa 90°=

[math]\frac{\pi}{2}[/math]

, la tangente e il prolungamento del raggio OB tendono ad essere paralleli e si intersecano all’infinito. La

[math]tan\frac{\pi}{2}[/math]

non è quindi calcolabile, ma possiamo definirla per valori quasi uguali a 90°. Se prendiamo un angolo ε molto piccolo, tendente a 0, e lo sottraiamo a

[math]\frac{\pi}{2}[/math]

[math]\lim_{ε \to 0^+} tan\frac{\pi}{2}-ε=+\infty[/math]

Ovvero si può calcolare solo come funzione limite. Quindi:

Per α=90° la tangente non è calcolabile
Per un angolo di poco minore di 90°,

[math]\lim_{ε \to 0^+} tan\frac{\pi}{2}-ε=+\infty[/math]

Per un angolo di poco maggiore di 90°,

[math]\lim_{ε \to 0^+} tan\frac{\pi}{2}+ε=-\infty[/math]

Per

[math]α=270°=\frac{3\pi}{2}[/math]

, vale lo stesso discorso appena fatto per

[math]\frac{\pi}{2}[/math]

. La tangente non è calcolabile e solo per angoli di poco più piccoli, o più grandi, di

[math]α=\frac{3\pi}{2}[/math]

la tangente è risolvibile mediante la funzione limite e uguale a ±∞.

Inoltre, da α=90,1° in poi, con l’aumentare dell’angolo la tangente diminuisce; da α=180,1° in poi, i valori della tangente si ripetono, poichè anche la tangente, come il seno e il coseno, è una funzione periodica, con periodo T = π.

In generale diciamo che

[math]tan⁡(α+\pi)=tan⁡α[/math]

o meglio:

[math]tan⁡(α+K\pi)=tan⁡α[/math]

Questa equazione definisce la periodicità della funzione tangente. K è una costante ed è un numero intero:

[math]K=0; ±1; ±2…[/math]

[math](K∈Z)[/math]

.

La Tangentoide è la curva che determina il valore della tangente in funzione dell’angolo α.
In corrispondenza dei valori π/2 e 3π/2 la funzione non è calcolabile. Quindi in corrispondenza di quei valori vi è un asintoto verticale che la curva interseca all’infinito.
La tangente è positiva e crescente da 0 a 90° (π/2) e da 180° a 270° (π – 3π/2), ed è negativa e decrescente da 90° a 180° (π/2 - π) e da 270° a 0 (3π/2 - 2π).

Relazione tra la Tangente e Seno e Coseno

I due triangolo OBH e OTA sono entrambi triangoli rettangoli e i loro lati sono in proporzione: BH : OH = TA : OA ovvero:

[math]sin⁡α : cos⁡α = tan⁡α : 1[/math]

Da sui si deriva che:

[math]tan⁡α=\frac{sin⁡α}{cos⁡α}[/math]

[math]tan⁡(2\pi-α)= \frac{sin⁡(2\pi-α)}{cos⁡(2\pi-α)}=\frac{-sin⁡α}{cos⁡α}=-tan⁡α[/math]

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