Sulla infinità dei numeri primi

In questo appunto di matematica dopo aver tracciato una brevissima storia sulle dimostrazioni proposte nel corso dei secoli circa l'infinità dei numeri primi, viene proposta una dimostrazione alternativa del professor Aldo Scimone, apparsa nella rivista Teaching Mathematics and its Applications Advance Access. Si riporta anche una formula di Eulero per calcolare numeri primi.

Euclide, dimostrazione dell'infinità dei numeri primi

Nel settimo libro dei suoi "Elementi", il matematico greco Euclide (c.

325 - 265 a.C.) propose una semplice ed elegante dimostrazione dell'infinità dei numeri primi utilizzando il metodo della reductio ad absurdum. In tale dimostrazione suppone che l'insieme dei numeri primi sia finito:

e costruisce un nuovo numero naturale ( dell’insieme N) dato dal loro prodotto al quale viene sommato 1:

Per tale numero si possono presentare due possibilità:

1. [math]N[/math]
   è un numero primo maggiore di
   [math]p_t[/math]
   e quindi quest'ultimo non è il più grande di tutti i numeri primi;
2. [math]N[/math]
   non è un numero primo, ma è dato dal prodotto di numeri primi che non compaiono tra i
   [math]p_i \in P[/math]
   , in quanto il resto della divisione di
   [math]N[/math]
   per ciascun
   [math]p_i[/math]
   è uguale a 1.

La dimostrazione si basa quindi sulla scomposizione in fattori primi di un numero naturale ed è costruttiva. È stata tanto apprezzata per la sua bellezza al punto tale che il matematico Hardy, nella sua opera "Apologia di un matematico", ne parla in questi termini:
”Enuncerò e dimostrerò due dei più famosi teoremi della matematica greca. Sono teoremi "semplici", sia nell'idea che nell'esecuzione, tuttavia sono di primissimo ordine. Ciascuno di essi conserva la freschezza e l'importanza di quanto è stato scoperto: 2000 anni non vi hanno lasciato una ruga. Per di più enunciato e dimostrazione possono essere pienamente compresi in meno di un'ora da un lettore intelligente, per quanto scarso sia il suo bagaglio di cognizioni matematiche. Il primo è la dimostrazione fatta da Euclide dell'esistenza di un numero infinito di numeri primi.”
Leonhard Euler (1707-1783) ha dato, nel 1748, una dimostrazione dello stesso teorema in cui, utilizzando la serie armonica e osservando che essa si può scrivere come il prodotto delle serie di potenze dei numeri primi, perviene all'assurdo secondo il quale la serie armonica non diverge.
In una lettera scritta ad Eulero nel mese di luglio del 1730, il matematico tedesco Goldbach (1690-1764) presenta una dimostrazione del teorema, utilizzando i numeri primi di Fermat. Nel 2005 Filip Saidak proporrà una dimostrazione simile ma più semplice rispetto a quella di Goldbach.
Nel 1955 l'American Mathematical Monthly pubblicò l'articolo del matematico israeliano Hille Furstenberg in cui veniva riportata una dimostrazione topologica del teorema.
La dimostrazione di Euclide rimane comunque la più semplice e breve, per tale ragione viene spesso riproposta a scuola.
Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione in fattori vedi qua

Dimostrazione alternativa del prof. Aldo Scimone

Aldo Scimone, docente di matematica e fisica presso il Liceo Pedagogico Sociale e delle Scienze Sociali "C. Finocchiaro Aprile" di Palermo, ha proposto una dimostrazione del teorema che si basa sulla non divisibilità di una particolare somma di numeri. Tale dimostrazione è stata pubblicata nella rivista Teaching Mathematics and its Applications Advance Access nel mese di Agosto 2008 e si ritiene di facile accesso per gli studenti della scuola secondaria superiore.

Teorema: Esistono infiniti numeri primi.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che esistano solamente tre numeri primi:

Allora, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero naturale

può essere fattorizzato nel prodotto dei primi considerati:

in modo che esso sia unicamente determinato dalla terna degli esponenti:

In questo modo per ogni terna di numeri naturali del tipo

otteniamo dei numeri naturali divisibili per

, oppure per

, oppure per

.

Esiste una terna

che ci permette di ottenere il numero M?

Se esistesse una tale terna, si avrebbe:

e quindi

sarebbe divisibile per

, oppure per

, oppure per

.

Questo è impossibile perché nell'espressione di

non compaiono come fattori comuni

, oppure

, oppure

. Si possono quindi presentare due possibilità:

1. [math]M[/math]
   è un numero primo diverso dai tre considerati e quindi il teorema è dimostrato;
2. [math]M[/math]
   non è primo e quindi è divisibile per un numero primo che sia diverso dai tre considerati, di conseguenza il teorema è dimostrato

Il metodo utilizzato può essere esteso al caso in cui si considerano solo

, con

, numeri primi

e consideriamo la somma di tutti i prodotti formati da

dei numeri primi considerati.

Formula di Eulero per i numeri primi

La ricerca di formule in grado di fornire numeri primi ha impegnato molti studiosi, particolarmente dal XVIII secolo ad oggi. Sono state trovate alcune formule polinomiali a coefficienti interi P(x) in grado di fornire valori primi quando alla x vengono assegnati valori interi, soggetti ad opportune condizioni.
Tra i casi riconducibili a questi, merita particolare considerazione il seguente insieme di numeri primi:

Si tratta di un insieme finito la cui cardinalità non può superare 40.
Vediamo quali sono i numeri primi dell’insieme, ad esempio quelli minori di 200:

Applicando la formula:

e così via …
In generale, per quanto riguarda i polinomi del tipo

, si dimostra che essi assumono valori primi per

se e soltanto se

.

Tra gli insiemi di numeri primi basati su tali polinomi quello avente la massima cardinalità è ancora quello segnalato da Eulero.

Per ulteriori approfondimenti sui polinomi vedi qua