Come calcolare la somma dei primi n numeri triangolari

In quest'appunto troverai tutte le informazioni per calcolare la somma dei primi n numeri triangolari, con descrizione step by step per effettuare la procedura corretta.

Come calcolare la somma dei primi n-numeri triangolari attraverso una sommatoria

I numeri triangolari sono numeri della forma

, dove

è il k-esimo numero triangolare.

Il motivo alla base per cui tali numeri vengono chiamati triangolari è molto semplice.
Immagina di avere a disposizione un numero triangolare di palline, posizionandole in un preciso ordine puoi ottenere una forma triangolare. Facciamo un esempio: se hai 6 palline, puoi costruire un triangolo mettendo tre palline sulla base, due palline sopra essa, e l'ultima in cima.

Poiché i numeri sono infiniti, anche i numeri triangolari sono infiniti: tuttavia esiste un modo per calcolare velocemente la loro somma.
Si tratta semplicemente di determinare il valore della seguente sommatoria:

.

I passaggi per determinare correttamente la sommatoria

Per ricavare la sommatoria precedentemente mostrata devi seguire questi Nota

, "isoliamo"

.
Abbiamo allora

.
Sviluppando l'espressione della sommatoria si ottiene:

.
Grazie a due formule molto importanti (la somma dei primi

e la somma dei primi

), si ottiene la formula. Proprio come accade per i numeri triangolari, la somma dei primi

quadrati corrisponde alla somma dei numeri di palline per cui è possibile creare quadrati perfetti di

righe e

colonne. I primi numeri quadrati sono

etc.

Ci resta solo da sommare il tutto.

.
In conclusione

.

I numeri triangolari e gli altri numeri poligonali e poliedrici

I numeri triangolari così come i numeri quadrati, pentagonali, esagonali etc. fanno parte dei numeri poligonali, ossia dei numeri che permettono di costruire attraverso delle disposizioni dei poligoni. Oltre ai numeri poligonali standard esistono altri numeri particolari, ossia:

• i numeri poligonali centrati, i quali permettono di costruire le figure partendo dal centro e non dal vertice
• i numeri stella, che consentono di costruire poligoni aventi la forma di stelle regolare a 6 vertici. Un esempio di tale disposizione è quella della scacchiera della dama cinese: il numero dei binari presenti sul tabellone è proprio un numero stella
• i numeri poliedrici. Tale approccio può anche essere esteso in tre dimensioni. Tali numeri possono infatti essere utilizzati per creare strutture sfere da impilare in modo da ottenere dei corpi tridimensionali di qualsiasi forma e dimensione.

Alcuni numeri appartengono a più insiemi numerici e alcune categorie sono collegate ad altre tramite delle relazioni. Per esempio, sommando due numeri triangolari consecutivi si ottiene un numero quadrato e i numeri quadrati centrati si ottengono sommando due numeri quadrati consecutivi.

Così come esistono delle regole per sancire la divisibilità di un numero, esistono anche dei trucchetti per riconoscere gli eventuali gruppi di appartenenza di alcuni numeri. Per esempio i numeri triangolari possono avere come ultima cifra

mentre i numeri stella soltanto le cifre

. Un discorso più ampio può essere fatto sui numeri piramidali: se, infatti, i numeri piramidali di base

terminano in

, i numeri piramidali di base

possono terminare in

ma non in 9.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri triangoli vedi anche qui