Scomposizione di polinomi mediante prodotti notevoli

Differenza di quadrati

Quando ci si trova di fronte a un binomio, spesso può essere il caso di ricondurlo al prodotto notevole della somma di due monomi per la loro differenza; in questo caso si presentano due quadrati, di cui uno è positivo e uno è negativo.
In questo caso si deve svolgere il passaggio inverso, ossia quello di ricondurli alla forma (a + b) X (a – b).
Si procede trovando i monomi (o polinomi) di cui i due termini sono i quadrati (una sorta di “radice quadrata”) e a questo punto si riscrive il polinomio tramite il prodotto della somma dei due termini e la loro differenza.

Es. 9a^2 – 16b^2 → (3a + 4b)(3a - 4b)

Quadrato di binomio
Nel caso invece di dover scomporre un trinomio, la prima cosa da verificare è se si tratti di del risultato di un quadrato di binomio, partendo dalla formula a^2 + 2 ab + b^2; si presentano due termini elevati al quadrato e il doppio prodotto degli stessi due termini. Si procede così:
- si individuano i quadrati e si ricavano i loro termini di partenza (una sorta di “radice quadrata”);

- si controlla se il doppio prodotto corrisponde alla formula 2 x A x B; a questo punto si può scrivere il polinomio come il quadrato tra la somma (se il doppio prodotto è positivo) oppure la differenza (se il doppio prodotto è negativo) dei due termini;

Es. 4a^2 + 4ab + b^2 → (2a + b)^2 [evidenziati i quadrati, sottolineato il doppio prodotto]

N.B. Se compaiono entrambi i quadrati con il segno meno davanti, basta raccoglierlo al di fuori di una parentesi, cambiando così tutti i segni, e procedere normalmente; se invece essi presentano segni diversi, allora non si può eseguire la scomposizione con questo metodo.

Es. - a^2 + 2ab - b^2 → - (a^2 - 2ab + b^2) → - (a - b)^2
- a^2 + 2ab + b^2 → non si può eseguire nulla

Cubo di binomio

Nel caso di quadrinomi in cui non si possono eseguire né raccoglimenti totali né parziali, ci si può ricondurre al risultato del prodotto notevole del cubo di binomio, partendo dalla forma a^3 + 3 a^2b + 3 ab^2 + b^3; si presentano quindi 2 cubi, derivati dall'elevamento di due termini, e i restanti 2 termini che derivano dal triplo prodotto tra il quadrato del primo e il secondo e dal prodotto tra il primo e il quadrato del secondo. Si procede in questa maniera:
- si riconoscono i cubi e si trovano i loro termini di partenza (per esempio a^3 è il cubo di a);

- a questo punto si dà un'occhiata ai doppi prodotti per vedere se coincidono con 3a^2b e 3ab^2; appurato ciò, si scrive il polinomio come il cubo dell'addizione algebrica tra i due termini.

Es. 27a^3 + 27a^2b + 9ab^2 + b^3 → (3a + b)^3 [evidenziati i cubi, sottolineati i prodotti]

Quadrato di trinomio

Infine, nel caso di un polinomio a 6 termini in cui non si può effettuare né un raccoglimento totale, né un raccoglimento parziale, esso potrebbe corrispondere a un quadrato di trinomio. Per scomporlo, bisogna seguire questo metodo:
- individuare i 3 termini che sono quadrati ed individuare i numeri di cui lo sono;

- controllare il valore assoluto dei doppi prodotti; se corrisponde a quello espresso nella formula (2ab + 2ac+ 2bc) allora si scrivono tra parentesi i termini da cui derivano i quadrati, lasciando uno spazio tra essi;

- controllando il segno dei doppi prodotti, si può capire quale segno interporre tra i tre termini, ossia determinare se sono discordi o meno.

Es. 4a^2 + b^2 + c^2 – 4ab + 4ac - 2bc → (2a__b__c)^2
Dato che – 4ab è negativo, allora 2a e b sono tra loro discordi; quindi mettiamo il primo positivo e il secondo negativo, mentre 2a e c sono concordi e visto che anche b e c sono discordi, allora c sarà positivo (in accordo con a) → (2a – b + c) ^2