Euclide – Biografia e teoremi

In questo appunto viene descritta la bibliografia di Euclide, un filosofo e matematico vissuto nel 300-400 a.C., viene presentato il libro da lui scritto e intitolato “gli Elementi” e vengono definiti e analizzati due suoi importanti teoremi: Euclide ha dimostrato due dei teoremi riguardanti il triangolo rettangolo utilizzati molto di frequente, insieme al teorema di Pitagora, nei problemi di geometria non solo scolastica ma anche pratica e applicativa.

Biografia

Euclide è stato un filosofo e matematico greco del 300-400 a.C, creatore del famoso libro "Gli Elementi" che raccoglie tutti i suoi studi che rappresentano le basi della geometria euclidea.
Euclide ha insegnato nella scuola di Alessandria chiamata Museo istituita da Tolomeo; qui Euclide iniziò gli studi della teoria assiomatica divenuta successivamente di fondamentale importanza e provò a inserirla negli studi della scuola, tuttavia gli altri insegnanti tradizionalisti rifiutarono quest'idea.
Nel corso della sua vita egli non si occupò solo della matematica e della fisica ma si dedicò anche alla musica e ad alcuni ambiti della fisica come l’ottica, la meccanica, l’astronomia.

Il libro: "Gli elementi"

"Gli elementi" è una raccolta di 13 libri che spiegano dettagliatamente la geometria: 6 libri parlano della geometria piana elementare, 3 libri si concentrano sulla geometria solida, 3 sulla teoria dei numeri e uno sugli incommensurabili. Ogni libro contiene delle definizioni che spiegano chiaramente tutti i 465 teoremi che compongono il libro. Collegati ai primi 6 libri, troviamo una raccolta di 3 libri chiamati "I Dati".
"Gli Elementi" fu tradotto per la prima volta da Teone di Alessandria e solamente secoli dopo fu tradotto in latino nel 1270 da Adelardo di Bath.
Per ulteriori approfondimenti sul libro “Gli elementi” di Euclide vedi anche qua.

Teoremi di Euclide

Descriviamo e analizziamo alcuni dei teoremi più famosi di Euclide.
I due teoremi più famosi sono quelli riguardanti le relazioni tra gli elementi caratteristici di un triangolo rettangolo.
I due teoremi di Euclide insieme al teorema di Pitagora sono i teoremi più importanti del triangolo rettangolo.
Ricordiamo che un triangolo rettangolo è un triangolo che possiede un angolo retto (angolo di 90°) questo implica anche che tale triangolo sia composto da due lati (cateti) disposti in modo perpendicolare e da un terzo lato chiamato ipotenusa.

Consideriamo un triangolo ABC rettangolo in C e che abbia come base il lato AB, tracciamo ora l’altezza relativa al lato

e chiamiamo H il punto che l’altezza individua sulla base (ricordiamo che l’altezza relativa al lato

è quel segmento che parte dal vertice opposto al lato considerato e che interseca la base in modo perpendicolare).
Per come è stato costruito il triangolo, la base coincide anche con l’ipotenusa del triangolo rettangolo e i due lati che definiscono l’angolo retto sono i cateti.
Il punto H divide quindi la base in due segmenti ( e ).

Il primo teorema di Euclide afferma che il quadrato costruito su un cateto, lato del triangolo (ad esempio

) che forma l’angolo retto, è equivalente al parallelogramma che ha come lati la proiezione sull’ipotenusa del cateto considerato () e l’ipotenusa del triangolo ().
Riscritto sottoforma di uguaglianza matematica corrisponde a:

Questo teorema è molto importante perché note due grandezze della relazione permette di trovare la terza; per fare ciò è necessario esplicitare la grandezza che vogliamo calcolare.

In seguito sono riportate le formule inverse che permettono di trovare ognuna delle grandezze presenti nella relazione:

Questo teorema può essere applicato ad entrambi i cateti che definiscono l’angolo retto all’interno del triangolo.

Consideriamo quindi ora il secondo cateto, lato (

) che forma l’angolo retto; il primo teorema di Euclide afferma che il quadrato costruito sul cateto è congruente al parallelogramma che ha come lati la proiezione sull’ipotenusa del cateto considerato () e l’ipotenusa del triangolo ().
Riscritto sottoforma di uguaglianza matematica corrisponde a:

In maniera analoga a come fatto nel primo caso è possibile ricavare le formule inverse che sono riportate in seguito:

Tali relazioni possono anche essere espresse utilizzando delle proporzioni; in tal caso il teorema afferma che il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
Tale relazione riscritta attraverso un’espressione matematica risulta essere:

Il secondo teorema di Euclide considera sempre un triangolo ABC rettangolo in C; consideriamo sempre la base

, tracciamo l’altezza relativa alla base, tale segmento incontra la base in un punto (H).

Il secondo teorema di Euclide afferma che il quadrato costruito sull’altezza (

) relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni dei due cateti sulla base (

[math]\overline{AH}[/math]

e

[math]\overline{HB}[/math]

).
Riscritto sottoforma di espressione matematica equivale a:

Utilizzando tale formula e note due grandezze è possibile esplicitare e ricavare la terza grandezza; in seguito sono riportate le formule inverse che permettono di trovare ognuna delle grandezze presenti nella relazione:

Anche in questo caso tali relazioni possono essere espresse attraverso una proporzione in cui l’altezza è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Riscritto sottoforma di equazione matematica equivale a:

Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni vedi anche qua