Teoremi di Euclide

I teoremi di Euclide

I Teoremi di Euclide sono due. Vengono spesso utilizzati insieme al Teorema di Pitagora, in quanto come quest'ultimo riguardano i triangoli rettangoli e ad esso sono anche strettamente correlati.

Per poter comprendere l'origine dei due teoremi di Euclide, è necessario conoscere la definizione di triangoli simili ed i criteri per poter accertare la similitudine tra due triangoli. Fatta questa doverosa premessa, veniamo all'enunciazione e alla dimostrazione dei due teoremi.

Primo teorema di Euclide:

Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, retto in B. A partire dal vertice B tracciamo l'altezza BH rispetto all'ipotenusa AC, come riportato in figura.




L'altezza BH divide l'ipotenusa AC in due segmenti: AH e HC, che sono rispettivamente la proiezione del cateto AB e del cateto BC sull'ipotenusa.

Suddiviso in questo modo il triangolo ABC di partenza, consideriamo i due triangoli ABC e AHB. Entrambi sono triangoli rettangoli: uno in B e l'altro in H: il primo per definizione, mentre il secondo perchè BH è perpendicolare ad AC per costruzione, in quanto altezza rispetto ad AC. Entrambi hanno inoltre in comune l'angolo con vertice in A.

Poichè hanno due angoli con la medesima ampiezza, i due triangoli sono dunque simili per il primo criterio di similitudine. Ricordiamo che due triangoli (o più in generale due figure geometriche) si dicono simili se hanno gli angoli corrispondenti uguali e se il rapporto fra due lati corrispondenti (cioè opposti agli angoli uguali) è costante. Detto in maniera leggermente differente, due triangoli (o due figure geometriche) si dicono simili se hanno la stessa forma senza necessariamente essere uguali.
Il primo criterio di similitudine fra triangoli afferma che due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente uguali.

Dalla definizione di triangoli (o figure geometriche) simili che abbiamo appena fornito, è possibile stabilire che:


...in quanto lati corrispondenti dei triangoli ABC e AHB.

Oppure, scritto in maniera leggermente differente:



Consideriamo soltanto la prima uguaglianza:



Non c'è dubbio che questa sia una proporzione. AC e AH (cioè l'ipotenusa del triangolo ABC di partenza e la proiezione del cateto AB su di essa) sono gli elementi estremi della proporzione, mentre il cateto AB è l'elemento medio della proporzione, o, come si preferisce dire, è il MEDIO PROPORZIONALE.

Ripetendo gli stessi ragionamenti fatti per i triangoli ABC e AHB anche per i triangoli ABC e BHC, si giunge alla conclusione che:



Stavolta è il cateto BC ad essere l'elemento medio (o MEDIO PROPORZIONALE) della proporzione.

Questo ci porta alla enunciazione del PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE, il quale afferma che: "in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa".

Utilizzazione del teorema:

Ricordando che: "In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi", possiamo scrivere che:

oppure che:


Questa equazione ha un importante significato geometrico. Significa infatti che il quadrato costruito sul cateto AB (o BC) è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. Tralasciando ulteriori spiegazioni e dimostrazioni a riguardo, ci limitiamo ad affermare che questa constatazione è un'ulteriore conferma (o se vogliamo anche "interpretazione") del teorema di Pitagora.

Queste due equazioni possono essere utilizzate quando:
1) Venga fornito il valore dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo e quello della proiezione di uno dei suoi cateti su di essa, e si voglia determinare il valore di questo cateto. Risulta infatti che: oppure che:


2) Venga fornito il valore di un cateto di un triangolo rettangolo e quello della sua proiezione sull'ipotenusa, e si voglia determinare il valore dell'ipotenusa stessa. Risulta infatti che: oppure che:


L'altro cateto del triangolo potrà poi essere facilmente calcolato utilizzando il Teorema di Pitagora.

Secondo teorema di Euclide:

Consideriamo nuovamente il triangolo rettangolo ABC, retto in B. A partire dal vertice B tracciamo l'altezza BH rispetto all'ipotenusa AC, la quale lo divide in due triangoli rettangoli, che abbiamo detto essere AHB e BHC.




Poichè abbiamo stabilito precedentemente che questi due triangoli sono entrambi simili ad ABC, dovranno necessariamente essere simili tra di loro. Il lato AH viene così ad essere corrispondente a BH, BH ad HC e AB a BC.

Dato che in due figure geometriche simili il rapporto tra lati corrispondenti è sempre lo stesso, è possibile scrivere che:



Oppure, scritto in maniera leggermente differente:



Consideriamo soltanto la prima uguaglianza:




Questo ci porta alla enunciazione del Secondo teorema di Euclide, il quale afferma che: "in ogni triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa".

Utilizzazione del teorema:

Ricordando nuovamente che: "In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi", possiamo scrivere che:




Questa equazione può essere utilizzate quando:

1) Vengano fornite le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa e si voglia determinare l'altezza rispetto a questa. Risulta infatti che:


2) Venga fornito il valore dell'altezza rispetto all'ipotenusa di un triangolo rettangolo e quello della proiezione sull'ipotenusa di uno dei suoi cateti, e si voglia determinare il valore dell'altra proiezione. Risulta infatti che:


Una volta note queste quantità, è poi possibile determinare anche i lati del triangolo ABC: l'ipotenusa sarà data dalla somma delle due proiezioni trovate, mentre i due cateti potranno essere trovati con il Teorema di Pitagora, utilizzando l'ipotenusa e l'altezza rispetto all'ipotenusa.