Rapporti e proporzioni - Esercizi svolti e commentati

Appunto in cui vengono approfondite le proporzioni e i rapporti, viene spiegato il significato di tali termini, vengono fornite le regole principali utili per affrontare i problemi e vengono proposti degli esercizi svolti utili per comprende meglio tale argomento.

Rapporti e proporzioni

Un rapporto è un nome utilizzato per indicare una generica frazione, ricordiamo che una frazione viene rappresentata nel seguente modo:

Dove a prende il nome di numeratore mentre b prende il nome di denominatore.

La frazione rappresenta quindi una divisione tra il numeratore e il denominatore, può quindi essere rappresentata nel seguente modo:

Una proporzione è un’uguaglianza tra due frazioni, in seguito è riportato un esempio di una generica proporzione:

dove:

• a,d prendono il nome di estremi (si trovano nelle posizioni estreme della proporzione)
• b,c prendono il nome di medi (si trovano nelle posizioni interne della proporzione, in vicinanza al segno di uguaglianza).

Per risolvere una proporzione è utile utilizzare le proprietà delle frazioni e delle divisioni, applicando tali proprietà è possibile ricavare una proprietà fondamentale delle proporzioni.
La proprietà afferma che: in una proporzione il prodotto dei medi (b,c) è uguale al prodotto degli estremi (a,d).
Tale proprietà, riscritta attraverso un’espressione matematica corrisponde a:

Quest’ultima formula si può ottenere applicando un'importante proprietà delle frazioni la quale afferma che se si moltiplica (o si divide) il numeratore e il denominatore di una stessa quantità, la funzione che si ottiene è equivalente alla frazione di partenza.

Per esplicitare una delle quantità presenti nell’equazione sopra riportata e che il problema ci richiede di calcolare, è invece necessario utilizzare le proprietà delle equazioni; un’importante proprietà delle equazioni afferma che se si moltiplica o si dividono entrambi i membri dell’equazione per uno stesso numero, l’equazione che si ottiene è equivalente a quella di partenza.
Partendo quindi dalla proporzione riscritta utilizzando dei prodotti, è possibile esplicitare una quantità, ad esempio la grandezza “b” dividendo entrambi i membri per la quantità “c”, così facendo si ottiene la seguente espressione:

Per esplicitare le altre quantità della proporzione si può seguire un procedimento analogo.

Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni e sulle sue proprietà vedi anche qua

Esercizi svolti e commentati

1. Qual è un rapporto matematico?
   A.4-5=5-4
   B.4/3=x/4
   C.20:3
   D.4*3 =400*300

   La risposta giusta è la C.
   Come dice il termine stesso, un rapporto è una relazione tra due numeri, i quali sono legati da una delle 4 operazioni matematiche di base: la divisione.

2. Quali dei rapporti qui proposti NON sono equivalenti a 6:7?
   A.8:9
   B.12:14
   C.18:21
   D.7:6

   Le risposte giuste sono la A e la D (la domanda usa il plurale).

   
   Il rapporto 8:9 non è equivalente a 6:7 perché le divisione non danno lo stesso risultato (8:9=0,8... e 6:7 =0,86... ).
   Lo stesso ragionamento per 7:6= 1,17.
   Invece sia 12:14=0,86 che 18:21=0,86.
   Un metodo più semplice è semplificare 12/14 e 18/21 come frazioni: dividiamo 12 e 14 per 2 e si ottiene la frazione 6/7; dividiamo 18 e 21 per 3 e si ottiene la frazione 6/7.
3. Completa i puntini con una delle scelte seguenti: “una proporzione è un’uguaglianza tra……..” .
   A.tre prodotti
   B.due rapporti
   C.due fattori
   D.quattro numeri

   La risposta giusta è la B.
   Un esempio di proporzione è 5:3=10:6 .
   Come vediamo si ha una divisione, un uguale e un’altra divisione. Ci deve essere un’altra condizione: proprio perché si chiama proporzione, i due rapporti devono essere in proporzione, cioè avere un legame di equivalenza, non devono essere due rapporti con numeri a caso.

4. In aritmetica, nella proporzione A:B=C:D come si chiamano questi termini?
   A. medi, estremi, antecedenti, conseguenti
   B. mediani, estremi, anticipatori, conseguenti

   La risposta giusta è la A.
   Come indicano le parole stesse, i medi sono i numeri più vicini all’uguale, quelli che sono in mezzo; gli estremi sono quelli più lontani dall’uguale, all’estremo appunto.
   Gli antecedenti sono i numeri che (ante=prima) sono prima di ogni segno di divisione, i conseguenti (come se fossero una conseguenza) sono dopo.

5. Dato d:e=f:g, quali delle seguenti regole è possibile applicare?
   A. d:f=e:g
   B.(d+e):d=(f+g):f
   C. d*e = f*g

   

   La C non può essere perché tra le lettere dobbiamo avere segno di divisione e non moltiplicazione.
   La A è corretta perché si applica la proprietà del permutare in cui tengo fermi gli estremi metto i medi uno al posto dell’altro.
   La B è corretta perché si applica la proprietà del comporre.

6. Calcola il 20% di 80 impostando una proporzione.
   
   [math]20:100=x:80[/math]
   [math]x=(20*80):100= 16[/math]

   La percentuale (20) sta al suo intero (100, essendo appunto percentuale) come la nostra incognita sta al suo totale (80).

7. Calcola quale tasso percentuale è 50 rispetto al totale di 120 impostando una proporzione.
   50:120=x:100
   x=(50*100):120= 41,67 %

   Una parte (50) sta al suo intero (120) come la percentuale (incognita) sta al suo intero (100). Mettiamo il simbolo “per cento” accanto al risultato perché la traccia chiede proprio di trovare la percentuale.

Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni e sulle sue proprietà vedi anche qua