Rette parallele – Angoli, teoremi e proprietà

In questo appunto vengono descritte le caratteristiche degli angoli individuati da due rette tagliate da una trasversale, vengono definiti i nomi e le relazioni tra tali angoli.
Vengono inoltre enunciati alcuni teoremi validi nel caso di due rette tagliate da una trasversale, vengono descritti i criteri di parallelismo e il teorema inverso sulle rette parallele tagliate da una trasversale.
Alla fine di tale appunto viene proposto un approfondimento sulle rette parallele e sulle proprietà del parallelismo.

Tutti i teoremi che saranno proposti in seguito sono molto utili per la risoluzione di problemi geometrici e per eseguire eventuali congruenze tra gli angoli di alcune figure o di alcuni sistemi anche complessi.

Rette tagliate da una trasversale

Consideriamo due rette complanari (appartenenti allo stesso piano) r ed s, che intersecano un'altra retta t, detta trasversale; l'intersezione di queste rette da luogo a otto angoli che vengono chiamati, a due a due, con dei nomi specifici; indichiamo questi angoli con i numeri da 1 a 8:

• gli angoli 2 e 8, oppure 3 e 5 si dicono alterni interni;
• gli angoli 4 e 6, oppure 1 e 7 si dicono alterni esterni;
• gli angoli 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7 si dicono corrispondenti;
• gli angoli 2 e 5, oppure 3 e 8 si dicono coniugati interni;
• gli angoli 1 e 6, oppure 4 e 7 si dicono coniugati esterni.

Si può dimostrare che sono congruenti, tra loro, gli angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti; gli angoli coniugati, invece, sono supplementari.

Per ulteriori approfondimenti sugli angoli supplementari vedi anche qua

Teoremi su due rette tagliate da una trasversale

Vediamo ora alcuni teoremi che si applicano considerando gli angoli sopra descritti.

Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora gli angoli alterni esterni sono congruenti, gli angoli corrispondenti sono congruenti, gli angoli coniugati sono supplementari.

Due rette di uno stesso piano che non hanno nessun punto in comune si dicono parallele.

Il seguente teorema ci assicura l'esistenza delle rette parallele.

Postulato di Euclide: La parallela ad una retta data, condotta per un punto esterno ad essa, è unica.
In altre parole data una retta, esiste una sola retta parallela ad essa e passante per un preciso punto esterno; è necessario specificare però che esiste un numero infinito di rette parallele ad una retta data ed ognuna di esse si troverà ad una distanza differente dalla retta di riferimento.

Criteri di parallelismo

I criteri di parallelismo permettono di verificare se due rette sono parallele; vediamo ora alcuni criteri che ci permetteranno di stabilire se due rette sono parallele.

Se due rette di un piano formano con una trasversale:

• due angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure
• due angoli corrispondenti congruenti, oppure
• due angoli coniugati supplementari

allora le due rette sono parallele.

Teorema inverso sulle rette parallele

Tale teorema può essere considerato l'inverso del precedente: se due rette di un piano sono parallele, esse, tagliate da una trasversale, formano:

• angoli alterni interni ( o esterni ) congruenti,
• angoli corrispondenti congruenti,
• angoli coniugati supplementari.

Nel caso in cui valga sia un teorema che il suo inverso, gli enunciati dei due teoremi si possono esprimere mediante un'unica proposizione:
Teorema: La condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che esse formino con una trasversale una coppia di angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure due angoli corrispondenti congruenti, oppure due angoli coniugati supplementari.

Per verificare se due rette sono parallele è necessario tracciare una retta che intersechi tali due rette, si misurano gli angoli che sono individuati dalle intersezioni tra le rette e si verifica quali sono uguali e quali sono complementari; se gli angoli rispettano le relazioni definite dai criteri di parallelismo, allora le rette sono parallele.

Per le rette parallele vale la proprietà transitiva: se due rette sono parallele ad una terza rette, allora esse sono parallele tra loro.

Il parallelismo può essere considerato come una relazione di equivalenza, poiché gode delle tre proprietà:

• riflessività: una retta è parallela a se stessa;
• simmetria: se una retta s è parallela ad una retta t, anche la retta t è parallela alla retta s;
• transitività: se una retta r è parallela ad una retta t, e la retta t è parallela ad una retta s allora anche le rette r ed s sono parallele.

Teoremi sul parallelismo

• Se due rette sono parallele, ogni retta che giace sullo stesso piano e che incontra una retta deve incontrare anche l'altra;
• Se due rette sono parallele, ogni retta perpendicolare a una delle due rette è perpendicolare anche all'altra.

Tale ultimo teorema può essere facilmente spiegato utilizzando le relazioni sugli angoli che sopra sono state enunciate; si considerano due rette parallele tagliate da una traversale e in questo caso la retta trasversale è una retta perpendicolare a una delle due rette parallele.

Per ulteriori approfondimenti sulle possibili posizioni reciproche tra le rette vedi anche qua