Triangolo rettangolo

Prima di dimostrare i teoremi sui triangoli rettangoli bisogna fare alcune premesse sul modo in cui vengono chiamati ed identifica i lati e gli angoli di un qualsiasi triangolo rettangolo. In un triangolo rettangolo il vertice retto si indica sempre con la lettera

; l'ipotenusa con la lettera

; i cateti con le lettere

e

, e i vertici ad essi opposti con le lettere

e

.

L'angolo retto si indica con la lettera greca

, l'angolo di vertice

con la lettera greca

e l'angolo di vertice

con la lettera greca

.

Fatte queste premesse possiamo dimostrare i due teoremi sui triangoli rettangoli.

Disegniamo gli assi cartesiani, la circonferenza goniometrica e la retta parallela all'asse y tangente alla circonferenza nel punto (1;0)

Disegniamo quindi un triangolo rettangolo con uno dei cateti che giace sull'asse x (nel nostro caso il cateto maggiore AC) e un vertice coincidente con l'origine degli assi (nel nostro caso il vertice C).

Disegniamo gli assi cartesiani, la circonferenza goniometrica e la tangente alla circonferenza nel punto (1;0) parallela all'asse y. Prendiamo in considerazione un qualsiasi triangolo rettangolo e disegniamolo in modo tale che uno dei due cateti (nel nostro caso il maggiore) si trovi sull'asse x e che uno dei vertici dei due angoli acuti coincida con l'origine degli assi (nel nostro caso il vertice C)

I due triangoli rettangoli AOB e OHM sono simili, poiché hanno un angolo acuto uguale (vi ricordo che affinché due triangoli rettangoli siano simili basta che abbiano un solo angolo acuto uguale); quindi i loro lati sono in proporzione: possiamo quindi scrivere:

OB è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che, come vi ho detto prima, si indica con la lettera a. OA è il cateto opposto al vertice B, quindi sarà indicato con la lettera b. OH è il raggio della circonferenza goniometrica: la sua misura sarà quindi uguale a 1. OM è l'ascissa del punto di intersezione tra l'ipotenusa e la circonferenza goniometrica misurata in funzione del raggio; quindi:

La precedente relazione quindi diventa:

Otteniamo perciò che:

Possiamo affermare che:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo compreso tra il cateto e l'ipotenusa stessa.

Facendo riferimento sempre alla stessa figura si ha che:

OB è sempre l'ipotenusa del triangolo, OH il raggio della circonferenza goniometrica, BA è il cateto c e HM è l'ordinata del punto di intersezione dell'ipotenusa con la circonferenza goniometrica misurata in funzione del raggio; quindi:

La precedente relazione diventa:

Possiamo affermare che:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto.

Dimostriamo ora il secondo teorema sui triangoli rettangoli, riferendoci sempre alla stessa figura.

I triangoli rettangoli OPQ e OPA sono simili, quindi avranno i lati in proporzione:

OA è il cateto b del triangolo rettangolo, BA è il cateto C; OQ è il raggio della circonferenza goniometrica e PQ è l'ordinata del punto P intersezione dell'ipotenusa con la retta x=1 misurata in funzione del raggio; quindi

La precedente relazione diventa

Possiamo affermare che:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo

Dato che in un triangolo rettangolo , si ha, per le formule degli archi associati, che:

Possiamo affermare che:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la cotangente dell’angolo opposto al secondo