Area di un triangolo isoscele conoscendo base e lato obliquo

In questo appunto viene spiegato e risolto il problema che prevede il calcolo dell’area di un triangolo isoscele noto il valore della base e del lato obliquo.
Per comprendere meglio lo svolgimento di tale problema è prima necessario richiamare alcuni concetti base come la definizione e le caratteristiche del triangolo, in particolare del triangolo rettangolo e del teorema di Pitagora.

Triangolo: definizione e tipi di triangoli

Un triangolo è una figura piana chiusa formata da 3 lati (in altre parole è una porzione di spazio delimitata da 3 lati).
A seconda della lunghezza dei lati e della possibile uguaglianza tra due o tre lati, tale figura acquisisce dei nomi particolari:

• triangolo scaleno: quando il triangolo è costituito da 3 lati di lunghezza diversa
• triangolo isoscele: quando il triangolo è costituito da 2 lati congruenti
• triangolo equilatero: quando il triangolo è costituito da 3 lati congruenti.

Gli elementi più importanti di un triangolo sono la base e la relativa altezza: la base è un lato del triangolo (la scelta è arbitraria) e l’altezza relativa alla base considerata è il segmento ortogonale alla base e che passa per il vertice opposto alla base, quindi altezza e base sono segmenti ortogonali (all’intersezione formano angoli retti).
In generale la scelta della base è arbitraria però nel caso specifico di triangolo isoscele è conveniente scegliere come base il lato che ha una lunghezza differente rispetto agli altri due, questo perché per questioni geometriche l’altezza divide esattamente a metà la base.
L’altezza è il segmento che è perpendicolare alla base e il punto in cui l’altezza interseca la base è esattamente il punto medio della base (è importante sottolineare che questa caratteristica è vera solo per i triangoli isosceli nei quali si considera come base il lato con lunghezza differente rispetto agli altri due).
Ricordiamo inoltre che si definisce triangolo rettangolo quel triangolo in cui due lati sono perpendicolari, cioè formano un angolo retto quindi con un’ampiezza di 90°.
Nel caso di triangoli rettangoli i lati assumono dei nomi specifici:
• cateti: sono i due lati che formano un angolo retto
• ipotenusa: lato che è opposto all’angolo retto.
Dato un triangolo è possibile calcolare l’area note base (b) e altezza (h) secondo la seguente formula:

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli vedi anche qua

Teorema di Pitagora: spiegazione e formula

Nel problema vedremo che sarà necessario utilizzare il teorema di Pitagora, perciò ora richiamiamo brevemente tale teorema.
Il teorema di Pitagora è valido solo nel caso di triangoli rettangoli; dato un triangolo rettangolo, il teorema di Pitagora afferma che:

La formula esprime che il quadrato costruito sull’ipotenusa ha un valore equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Per trovare il valore dell’ipotenusa sarà poi necessario eseguire la radice quadrata del valore ottenuto dalla somma dei quadrati dei cateti.

Per ulteriori approfondimenti sul teorema di Pitagora vedi anche qua

Area di un triangolo isoscele conoscendo base e lato obliquo

Supponiamo di avere un triangolo isoscele (ABC): triangolo che è costituito da due lati congruenti.
Come detto in precedenza in questi casi conviene considerare come base quel lato che ha la lunghezza differente rispetto agli altri due, perciò abbiamo un triangolo con una base (

) e con gli altri due lati congruenti.
Abbiamo visto come in questo caso il punto di intersezione (H) tra l’altezza e la base sia proprio il punto medio della base, riscritto attraverso un’equazione matematica si ottiene che:

Dato che l’altezza per costruzione è sempre perpendicolare alla base è possibile utilizzare il teorema di Pitagora nel triangolo AHC oppure nel triangolo HBC (nel caso di triangolo isoscele i due triangoli sono congruenti perciò si può scegliere indifferentemente uno dei due triangoli):

Se il problema ci fornisce il valore della base (

) è possibile trovare il segmento (

) semplicemente dividendo per 2 la base secondo la seguente formula:

Conoscendo la lunghezza di metà della base e la lunghezza del lato obliquo è possibile utilizzare il teorema di Pitagora nel triangolo AHC per calcolare l’altezza:

Sapendo che l’area di un triangolo si calcola con la seguente formula:

Possiamo introdurre i valori di base e di altezza trovati e calcolare il valore dell’area.

Risoluzione numerica del problema:

Consideriamo un triangolo isoscele in cui:
Misura della base:

Misura del lato obliquo:

Ci viene chiesto di calcolare l'area.

Sappiamo che l’area del triangolo può essere calcolata attraverso la seguente espressione:

Dove:

Dato che siamo in presenza di un triangolo isoscele consideriamo l'altezza del triangolo

relativa alla base

, essa divide ABC in due triangoli rettangoli congruenti (AHC e HBC) e taglia la base in due segmenti congruenti perciò:

Per trovare la misura di questa altezza applichiamo allora il teorema di Pitagora ad uno dei due triangoli rettangoli.
Se indichiamo con

il lato obliquo che rappresenta l'ipotenusa e

metà della base che rappresenta un dei due cateti, abbiamo che:

inseriamo i valori numerici ed abbiamo:

Ora che l'altezza è stata calcolata è possibile calcolare anche l'area: