Grafico dell'ellisse data la distanza tra i due fuochi con Geogebra

In questo appunto viene descritto il procedimento da seguire per disegnare un’ellisse con il programma Geogebra; per comprendere meglio il procedimento è prima utile ripassare brevemente le caratteristiche e gli elementi principali dell’ellisse.

L’ellisse

L’ellisse è il luogo dei punti caratterizzati da avere lo stesso valore della somma delle distanze dai due fuochi.
Un elemento caratteristico dell’ellisse è quindi il fuoco, il fuoco è un punto con particolari caratteristiche e i due fuochi sono definiti in modo univoco per una data ellisse.
Preso ogni punto dell’ellisse e misurata la somma della distanza di tale punto dai due fuochi si ottiene lo stesso valore per ogni punto dell’ellisse.

Ricordiamo che la distanza tra due punti aventi le coordinate () e () può essere trovata utilizzando la seguente relazione.


Tale relazione può essere facilmente ricavata utilizzando il teorema di Pitagora.

Partendo dal fatto che i punti che appartengono all’ellisse sono caratterizzati dall’avere la somma delle distanze dai fuochi costante, è possibile eseguire qualche trasformazione matematica per ottenere la seguente equazione che descrive i punti che individuano l’ellisse:


Nell’equazione compaiono i due nuovi parametri a e b; tali lettere indicano due ulteriori elementi caratteristici dell’ellisse, tali elementi prendono il nome di semiassi.

• a corrisponde al semiasse orizzontale


• b corrisponde al semiasse verticale

Data un’ellisse centrata sull’origine degli assi e avente i due fuochi appartenenti all’asse x, il semiasse orizzontale corrisponde a metà del segmento che l’ellisse individua sull’asse x; il semiasse verticale invece individua metà del segmento che l’ellisse individua sull’asse y.

Data quindi un’equazione dell’ellisse è possibile osservare i denominatori di e di per ricavare i valori del semiasse verticale ed orizzontale dell'ellisse considerata.


Osserviamo ora meglio l’equazione di un’ellisse:


Un’equazione, per rappresentare un’ellisse deve sempre poter essere ricondotta ad un’equazione come quella riportata sopra perciò deve contenere un termine contenente

[math]x^2[/math]

, un termine con

[math]y^2[/math]

, deve essere presente la somma di tali due termini e tale somma deve essere uguale ad 1.


Nel caso in cui i fuochi dell’ellisse non appartengono all’asse delle ascisse è possibile scrivere un’equazione nella quale viene introdotto il parametro definito come il centro dell’ellisse.


Introducendo i parametri a (semiasse orizzontale), b (semiasse verticale) e le coordinate del centro ()

Per ulteriori approfondimenti sulla distanza tra due punti vedi anche qua

Ellisse e circonferenza

L’ellisse ha una equazione molto simile all’equazione che individua una circonferenza, questo perché una circonferenza non è altro che un caso particolare dell’ellisse.
La circonferenza è caratterizzata dall’avere la stessa lunghezza dei semiassi verticali e orizzontali (a=b), se perciò si introduce tale condizione dell’equazione dell’ellisse si ottiene la seguente equazione:


Tale equazione corrisponde proprio all’equazione della circonferenza.

Notiamo inoltre che l’equazione della circonferenza, come nel caso dell’equazione dell’ellisse, presenta la somma dei termini in

[math]x^2[/math]

e

[math]y^2[/math]

; nel caso della circonferenza è però necessario che i coefficienti dei due termini al quadrato devono essere uguali.


La circonferenza è un caso particolare dell’ellisse nel quale i due fuochi degenerano ovvero coincidono (sono sovrapposti), la circonferenza infatti è il luogo geometrico dei punti caratterizzati dall’avere la stessa distanza da un singolo punto che prende il nome di centro.

L’ellisse è una figura che è molto utilizzata nella realtà in quanto se si illumina la superficie di un’ellisse, tale figura concentra i raggi nei due fuochi, se invece si posiziona una sorgente luminosa in corrispondenza di uno dei due fuochi, la luce viene focalizzata nel secondo fuoco.
Tali proprietà possono essere utilizzare per generare particolari tipi di lenti o per concentrare la luce in punti precisi.

Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della circonferenza vedi anche qua

Ellisse data la distanza tra i due fuochi

Viene ora illustrato e descritto come realizzare un'ellisse conoscendo la misura della distanza tra i due fuochi, utilizzando il software Geogebra.

Ricordiamo che l’ellisse può essere costruita individuando i punti che sono caratterizzati dall’avere la somma delle distanze dai fuochi costanti.

I passaggi principali per eseguire tale costruzione sono, in ordine di invio:

Disegnare un segmento (nell'esempio, si è scelto un segmento di 5cm).
Il segmento disegnato sarà utilizzato per individuare i fuochi dell’ellisse; i fuochi corrispondono agli estremi del segmento individuato.



Nella barra di inserimento, digitare:
-Ellisse[A,B,a]
Tale struttura indica che le lettere A e B corrispondono ai punti che individuano i due fuochi dell’ellisse mentre il terzo parametro può essere un terzo punto che appartiene all’ellisse o la lunghezza del semiasse maggiore.
Dati questi 3 parametri Geogebra traccerà l’ellisse che soddisfa tali condizioni e fornirà l’equazione che la definisce.

In alternativa è possibile inserire il comando: Ellisse[A,B,a]
Prendere sull'ellisse un punto C ed unire gli estremi del segmento prima disegnato, con quest'ultimo punto.
Tratteggiare l'ellisse, successivamente cliccare sul punto C e selezionare l'opzione traccia attiva. Selezionare il punto C e muoverlo con + e -.

Utilizzando il software Geogebra è possibile disegnare qualsiasi tipo di ellisse, ellissi con centro coincidente con l’origine degli assi o con un punto generico del piano cartesiano, con lunghezze diverse dei semiassi; attraverso tale software è anche possibile verificare che nell’ellisse la somma delle distanze del punto dai fuochi è costante.