Equazione della circonferenza (definizione e formule)

Definizione di circonferenza

Fissati un punto e un numero reale (), si definisce circonferenza di centro e raggio il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano la cui distanza da è pari a .

Osservazione 1: Se nella definizione 1 si diminuisce sempre di più il raggio della circonferenza, si vede che il luogo geometrico descritto è una circonferenza di misura via via minore, che si restringe attorno al suo centro

.
Se poi , il luogo si riduce al solo centro della circonferenza, che in questo caso viene appunto detta degenerenel suo centro.

Osservazione 2: Se nella definizione 2 si aumenta sempre di più il raggio della circonferenza, si vede che il luogo geometrico descritto è una circonferenza di misura via via maggiore. Si può anche notare che la curvatura del grafico diventa sempre più piccola, cioè la curva stessa finisce con l'assomigliare localmente a una retta. Se poi (

), il luogo si riduce appunto a una retta, e la circonferenza viene detta degenere di raggio infinito.

Osservazione 3: Ci si potrebbe domandare come mai gli strani luoghi geometrici definiti dalle osservazioni 1 e 2 vengano considerati circonferenze; ebbene, questa convenzione torna utile allorché si studiano i fasci di circonferenze, perché consente di considerare come tali anche curve che non verificano esattamente la definizione 1.

Equazione della circonferenza

Metodo per ricavare l'equazione:
In questa sezione vogliamo adoperare la definizione 1 per ottenere l'equazione della circonferenza di centro

[math] C [/math]

e raggio

[math] r [/math]

fissati, ovvero quella relazione che è soddisfatta da tutti e soli i punti appartenenti al luogo descritto.

Sia dunque

un punto qualsiasi appartenente alla nostra circonferenza.

Poiché la sua distanza dal centro

è nota, deve senza dubbio valere

Questa equazione, che adopera al primo membro la ben nota formula per ricavare la distanza di due punti, non dice altro che la distanza tra il punto

e il punto è pari a .

Poiché dalla definizione 1 sappiamo che (

) (oppure ( ) se vogliamo includere anche quanto aggiunto dall'osservazione 1), non lediamo le generalità prendendo il quadrato di entrambi i membri della (eq1):

Questa è l'equazione cercata.

Osservazione 4: Notiamo subito che se poniamo, come da osservazione 1,

, avremo

Poiché un quadrato di un numero reale è sempre non negativo, la relazione su scritta afferma che la somma di due numeri maggiori o uguali di 0 è 0; ciò è possibile solo allorché entrambi i quadrati risultano nulli, cioè se e solo se si ha contemporaneamente

e .
Questo è equivalente a dire che l'unico punto appartenente alla nostra circonferenza è , e quindi come avevamo annunciato la circonferenza si è ridotta al suo solo centro.

Definizione 2: Equazione in forma canonica
L'equazione di una circonferenza si dice essere in forma canonica allorché essa si presenta scritta come

in cui (

) e ( ) sono numeri reali.

Osservazione 5: Ogni circonferenza può essere scritta in forma canonica. Infatti in (eq2), che è l'equazione generale di una circonferenza, possiamo espandere i quadrati è scrivere

Da questa è facile ottenere la seguente:

che si riduce subito alla (eq3) imponendo (

) e ( ).

Da queste tre relazioni possiamo inoltre ricavare le inverse:

Le relazioni (eq4) ci consentono di ottenere, quando necessario, le coordinate del centro e la misura del raggio di una circonferenza la cui equazione è scritta in forma canonica.

Osservazione 6: Nell'osservazione 5 abbiamo visto che ogni circonferenza si può scrivere in forma canonica; non è d'altra parte vero il contrario, cioè non ogni possibile scelta di tre numeri reali (

) è tale che la (eq3) sia l'equazione di una circonferenza.

Questa asimmetria si deve alla seconda delle relazioni (eq4):

Perché questa abbia senso, è necessario che

,ovvero che

;

se infatti (

) è maggiore di tale quantità, il radicando della (eq4) è un numero negativo e non è possibile trovare il raggio della circonferenza.
Comunque, la limitazione riguarda solo ( ): i valori di ( ) e ( ) possono essere invece scelti liberamente, com'è ovvio dalla prima delle relazioni (eq4): se alcuni valori di () fossero vietati, non si potrebbero infatti considerare circonferenze di centro qualsiasi.

Per ulteriori approfondimenti sulla circonferenza e sugli elementi che la compongono vedi anche qua

Per ulteriori approfondimenti sui fasci di circonferenze vedi anche qua

Altro materiale di supporto

Test sulla circonferenza
Videolezione sulla circonferenza

[url=https://www.skuola.net/matematica/geometria-analitica/equazione-circonferenza.html][/url]