Come calcolare i divisori del numero 36

In quest'appunto di matematica troverai un approfondimento sui concetti di divisibilità e di scomposizione in fattori, con un esempio pratico riferito al numero 36.

Il concetto di divisibilità e i criteri di divisibilità

Conoscere il concetto di divisibilità in matematica è importante perché permette di scoprire, a monte dei calcoli, se a seguito di una divisione sarà presente del resto oppure no.
Se, infatti, un numero è divisibile per un altro numero, utilizzando il primo come dividendo e il secondo come divisore è possibile effettuare una divisione perfetta.

Per facilitare il riconoscimento di tali coppie dividendo-divisore è opportuno utilizzare i criteri di divisibilità. I criteri di divisibilità sono delle regole dimostrabili che permettono di verificare - guardando semplicemente la struttura di un numero - se esso può essere perfettamente diviso per un dato divisore oppure no. Tra i principali criteri di divisibilità ricordiamo:

• tutti i numeri possono essere divisi per
  [math]1[/math]
  (anche i numeri primi)
• tutti i numeri che terminano con una cifra pari possono essere divisi perfettamente per
  [math]2[/math]
• Se sommando tutte le cifre che compongono un numero
  [math]x[/math]
  si ottiene un numero
  [math]y[/math]
  divisibile per tre, allora anche il numero
  [math]x[/math]
  sarà divisibile per tre
• un numero è divisibile per
  [math]4[/math]
  se termina con due zeri o se le cifre finali compongono un multiplo del numero
  [math]4[/math]
• un numero è divisibile per
  [math]5[/math]
  se l'ultima cifra a destra è zero o cinque
• Per stabilire la divisibilità di un numero per
  [math]9[/math]
  è necessario che questo sia due volte divisibile per
  [math]3[/math]
• Un numero è divisibile per
  [math]10[/math]
  se termina in zero

Come effettuare la scomposizione in fattori primi

I criteri di divisibilità sono disponibili soltanto per una ristretta gamma di numeri. I numeri, tuttavia, sono infiniti: per questo motivo, è necessario introdurre un altro approccio finalizzato al calcolo dei divisori di un numero ed estendibile a tutti i valori.

Questa strategia si basa sulla scomposizione in fattori primi.
La scomposizione in fattori primi viene effettuata dividendo di volta in volta il numero per il più piccolo divisore e sfrutta i principi base della divisione in colonna. Essa termina quando, a seguito delle operazioni ripetute, è stato ottenuto come risultato un numero primo (ossia un numero non ulteriormente scomponibile) oppure il numero

.

A scomposizione finita, è possibile riscrivere il numero come un prodotto tra fattori. I fattori presenti corrispondono ai divisori utilizzati elevati a un numero pari al numero di volte in cui tali divisori ricorrono nella scomposizione. Sia i fattori che prodotti parziali dei fattori risultano essere dei divisori del numero originale.

Considerando, ad esempio, il numero

, esso può essere scomposto in fattori primi come:

e quindi

.
In questo caso e sono dei divisori, ma anche etc. Questo semplice approccio può essere applicato a qualsiasi numero intero scomponibile in fattori primi.

Esempio svolto: come calcolare i divisori del numero 36

Consideriamo il numero : per calcolare i divisori è opportuno scomporre il numero e scriverlo sotto forma di prodotto.

Partiamo dalla scomposizione: il più piccolo divisore di

è in quanto l'ultima cifra del numero è una cifra pari. Per questo motivo:

Lo stesso discorso vale per il numero

. Quindi:

non è un numero divisibile per , ma solo per . Per questo motivo, bisogna cambiare divisore e continuare come:

Dividendo ancora per

completiamo la scomposizione, poiché il risultato è .
.

A valle di questa scomposizione, il numero

può essere scritto attraverso l'utilizzo di questi fattori . Il numero è quindi divisibile per .

Per ulteriori approfondimenti sui divisori vedi anche qua