Multipli e divisori: criteri di divisibilità

In questo appunto verranno descritti i concetti fondamentali relativi ai multipli e divisori di un numero, i criteri di divisibilità con alcuni esempi, come i multipli del 9, terminando poi con i concetti di minimo e massimo comune divisore e di minimo e massimo multiplo.

I multipli e i divisori di un numero

Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo dà come resto 0.

Attraverso la moltiplicazione possiamo trovare per ogni numero diverso da 0 infiniti multipli: basta moltiplicare il numero per 0, 1, 2, 3, 4,... (il numero 0 ha invece come unico multiplo se stesso).
Un numero naturale diverso da 0 è divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0.
Qui di seguito verranno fatti alcuni esempi esemplificati dei concetti appena esposti.

Esempio numero 1

Consideriamo il numero 18.
6 è divisore di 18, perché risulta quanto segue:

Dando come resto 0.
Invece, 7 non è divisore di 18, perché risulta quanto segue:

Dando come resto 4.
Mentre per quanto concerne invece i multipli di un numero sono infiniti,mentre invece i suoi divisori sono un numero
finito.

Esempio numero 2

Consideriamo ora come numero il numero 40. I divisori di 40 sono i seguenti riportati:

I multipli di 8 sono invece i seguenti riportati:

Quindi sono multipli infiniti. Per indicarli sinteticamente possiamo la relazione in termini matematici come segue riportato qui:

I multipli di 2 sono tutti i numeri pari nell'insieme dei numeri naturali e si indicano come segue riportato qui:

Per approfondimenti sui numeri naturali e reali, vedi qui

Criteri di divisibilità dei numeri

Qui di seguito vengono riportati i criteri di divisibilità dei numeri relativamente ai numeri 2,3,4,5, e 9.

• Un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari. Ad esempio il numero 5 679 254 è divisibile per 2. Invece il numero 60 018 841 non è divisibile per 2.
• Un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 o è 5. Ad esempio i numeri 279 640 e 310 065 sono divisibili per 5. Invece il numero 9 111 008 non è divisibile per 5.
• Un numero è divisibile per 4 e 25 quando il numero è formato dalle ultime due cifre a destra è 4 o 25, oppure se queste cifre sono 00. I numeri 295 264 e 310 500 sono divisibili per 4. I numeri 157275 e 98200 sono divisibili per 25. Il numero 917 426 e 784 040 non sono divisibili nè per 4 nè per 25.
• Un numero è divisibile per 3 quando e se e solo se la somma delle cifre è divisibile per 3. Il numero 74 391, la cui somma dei numeri che lo compongono è 7+4+3+9+1=24=3 *8, che è quindi divisibile per 3. Il numero 32 723, la cui somma dei numeri che lo compongono è 3+2+7+2+3=17, che non è divisibile per 3.
• Un numero è divisibile per 9 quando e se e solo se la somma delle cifre è divisibile per 9. Il numero 65 682 la cui somma dei numeri che lo compongono è 6+5+6+8+2=27=3*9, che è quindi divisibile per 9. Il numero 32 723, la cui somma dei numeri che lo compongono è 3+2+7+2+3=17, che non è divisibile per 9.

Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo

Per parlare di massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dobbiamo procedere a discutere di numeri primi, scomposizioni in fattori primi.
Si dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e da 1, che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi. Esempi possono essere i seguenti numeri:

Questi sono divisibili solo per se stessi e per 1, quindi sono numeri primi. Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti i fattori sono numeri primi.

Esempi di numeri primi e scomposizioni in fattori primi

Considerando il numero 20. 20 può essere scomposto in fattori primi come segue:

Considerando il numero 60 può essere scomporto in fattori primi.

La scomposizione di un numero in fattori primi viene anche chiamata fattorizzazione in numeri primi

Il massimo comune divisore

Consideriamo i numeri 30 e 40.
I divisori di 30 sono: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
I divisori di 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
30 e 40 hanno in comune i divisori 1, 2, 5, 10. 10 è il più grande e viene perciò chiamato massimo comune divisore è indicato con M.C.D.
Possiamo scrivere: M.C.D.(30, 40)=10.
Procediamo ora nell'andare a definire dunque il massimo comune divisore come segue.
Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni.
Il M.C.D. di due o più numeri è il prodotto dei soli fattori primi comuni,
ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo.

Esempio numerico per il massimo comune divisore

Scomponiamo 30 e 40, mettendo in colonna i fattori uguali.

→ Il M.C.D. è

, cioè 10.

Se il M.C.D. di due numeri è 1, significa che essi non hanno divisori comuni, tranne il numero 1.
In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro. Per esempio 8 e 9 sono primi tra loro.

Il minimo comune multiplo

Consideriamo di nuovo i numeri 30 e 40 e i loro multipli diversi da 0.
I multipli di 9 sono: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63,72, 81, 90, ...
I multipli di 30 sono: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ...
I multipli di 40 sono: 40, 80, 120, 160, 200, 240, ...
Il più piccolo multiplo che i numeri 30 e 40 hanno in comune è 120; esso viene perciò chiamato minimo comune multiplo e indicato con m.c.m.
Possiamo scrivere: m.c.m.(30, 40)= 120.
Procediamo ora nell'andare a definire dunque il minimo comune multiplo come segue.
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
Il m.c.m. di due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più grande.
Il m.c.m. di due numeri primi fra loro è il loro prodotto. Per esempio: m.c.m.(8, 9)=72.