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Quantità dei divisori di un numero


Saprai benissimo che cosa sono i divisori di un numero. Sono quei numeri interi la cui divisone dà sempre resto 0. Considerando due numeri interi
[math]n, m[/math]
,
[math]m[/math]
è un divisore di
[math]n[/math]
se e solo se:
[math]n ≡ 0 (mod m)[/math]

Tutto ciò sembra facile, per esempio se vogliamo trovare quanti sono i divisori di 24 basta eseguire una divisione e scrivere solo quei numeri che dividendo 24 danno resto 0.
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.
In tutto sono 8 divisori.
Ora vogliamo scrivere quanti sono i divisori del numero 93312. Sarebbe un lavoraccio, ma possiamo determinare quanti sono molto più semplicemente.

Fase 1:
Scomporre il numero 93312 in fattori primi.

[math]93312 = 2^7 * 3^6[/math]

Fase 2:
Deduciamo che i divisori di 93312 non saranno altro che una permutazione di tutti i fattori primi, quindi:
[math]2^x 3^y[/math]

Dove:
[math]0 ≤ x ≤ 7[/math]

[math]0 ≤ y ≤ 6[/math]

Fase 3:
Concludiamo che possiamo scegliere in 8 modi la x (0;1;2;3;4;5;6;7) e in 7 modi la y(0;1;2;3;4;5;6).
Allora, il numero 93312 ha
[math]8*7[/math]
= 56 divisori.
Per riassumere tutto ciò possiamo stabilire una formula che ci permetta di calcolare il numero dei divisori. Chiamiamo quest'ultimo
[math]n[/math]
, chiamiamo
[math]p[/math]
i fattori primi e
[math]x, y[/math]
(eventualmente altre lettere) l'esponente ad essi relativo.
[math]n=p^{x+1}*p^{y+1} . . .[/math]
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