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I limiti


Per capire i limiti, c’è prima da prendere in analisi il concetto d’intervallo a cui esso può appartenere o meno. Un intervallo è un sotto-insieme di numeri reali e, geometricamente, corrisponde ad una semiretta (nel caso sia un intervallo illimitato) o ad una retta (intervallo limitato). Oltre a queste caratteristiche, esso può essere chiuso (se gli estremi appartengono all’intervallo) o aperto (se essi non vi appartengono). Come mostrato:
Esempi di intervalli limitati:

Da queste quattro tipologie si possono ricavare le caratteristiche degli intervalli: gli estremi (a, b), l’ampiezza (b – a), il raggio ((b-a)/2), il centro ((b+a)/2).

Esempi di intervalli illimitati:

Uno dei due estremi dei limiti è a, poiché +∞ e -∞ non sono numeri reali e sono esclusi dall’intervallo.
Analizzando i punti di un intervallo, possiamo avere dei numeri classificati come “intorno”. Un intorno completo di x0 (numero reale) è un intervallo qualunque di I (x0), così definibile:
I (x_0 )= ] x_0- δ_1; x_0+ δ_2 [
dove δ_1 e δ_2 sono numeri reali, come mostrato nell’esempio:

Nel caso in cui δ_1= δ_2 , x0 sarà un punto medio. Si avrà che l’intervallo aperto I_δ (x_0) ha un centro x0 e raggio δ – si tratta di un introno circolare, così definibile:
I_δ (x_0 )= ] x_0- δ; x_0+ δ [

Gli intorni, inoltre, possono essere di due tipi:
Destro di x0: intervallo I_δ^+ (x_0 )= ] x_0; x_0+ δ [ ;
Sinistro di x0: intervallo I_δ^- (x_0 )= ] x_0- δ; x_0 [ .
Vi sono anche intorni d’infinito:
Intorno di meno infinito: un intervallo aperto illimitato inferiormente: I (-∞)= ]-∞;a[ = {x ∈R:x<a} ;
Intorno di più infinito: un intervallo aperto illimitato superiormente: I (+∞)= ] b; +∞ [ = {x∈R:x>b} ;
Intorno di infinito: unione tra l’intorno di -∞ e di +∞, ossia: I (∞)= I(-∞) U I(+∞)= {x ∈R:x<a V x>b} ;
Intorno circolare di infinito: intorno di x0, cioè I_c (∞)= ]-∞; -c c; +∞ [ con c ∈ R^+.
Non tutti gli insiemi sono intervalli ma anch’essi possono essere limitati o illimitati. Un insieme numerico F ∁ R è detto:
Superiormente limitato: si può determinare un numero reale α (detto maggiorante di F) tale che x ≤ α ∀ x ∈F , se appartiene all’insieme è detto anche massimo – vi è un estremo superiore (supE) di E tale che il suo numero reale M:

x ≤ M , con ∀x ∈E
∀ε>0 ∃x∈E tale che x>(M- ε) ;
Inferiormente limitato: si può determinare un numero reale β (detto minorante di F) tale che x ≥ β ∀ x ∈F, se appartiene all’insieme è detto anche minimo – vi è un estremo inferiore di E tale che il suo numero reale L:
x ≥ L , con ∀x ∈E
∀ε>0 ∃x∈E tale che x<(L+ ε) ;
Limitato : se è contenuto da un intervallo limitato – F è limitato se il numero reale k è tale che |x| ≤k ∀ x ∈F.
Un insieme numerico finito è sempre contenuto in un intervallo limitato. Tuttavia, vi sono anche altri insiemi:
Illimitati superiormente: se vi è un numero reale m rispetto cui F è maggiore, cioè ∀m ∈R ∃x∈F tale che x > m;
Illimitati inferiormente: vi è un numero reale m a cui F è inferiore, cioè ∀m ∈R ∃x∈F tale che x < m;
Illimitati: l’insieme è limitato sia superiormente che inferiormente.
Prendendo, ora, in esame la funzione y = f(x) , come mostrata nel grafico:

Per meglio capire la funzione, consideriamo il seguente esempio, con l’obiettivo di studiarla vicino al punto x0 = 3 :
y=f(x)= (〖2x〗^2-6x)/(x-3), D= R- {3}.
Poiché f(x) non è definita in 3, non è possibile considerare f(3). È necessario, quindi, studiare la funzione quando si approssima a quel dato valore, di conseguenza diamo ad x un tot. valori che si avvicina a 3tabella.
x 2,9 2,99 2,999 → 3 ← 3,001 3,01 3,1
f(x) 5,8 5,98 5,998 → ? ← 6,002 6,02 6,2
Poiché all’avvicinarsi di x a 3, f(x) si avvicina a 6, se preso un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre minore, allora f(x) si trova in un intorno di 6 sempre minore. Esaminato attraverso un qualunque intorno circolare, invece, di 6 di ampiezza ε Iε(6), vi sarà sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x ≠ 3) avranno un’immagine di f(x) contenuta nell’intorno Iε(6), poiché soddisfano la disequazione

|f(x)-6|< ε → |(〖2x〗^2-6x)/(x-3)|< ε → |(2x (x-3))/(x-3)-6|< ε → |(2x (x-3)-6 (x-3))/(x-3)|< ε → |((2x-6)(x-3))/(x-3)|< ε
prendendo in considerazione la condizione d’esistenza, semplifichiamo
|2x-6|< ε → 2|x-3|< ε → |x-3|< □(ε/2) → 3- □(ε/2 )<x<3+ □(ε/2)
quindi, le soluzioni della disequazione saranno i punti dell’intorno
I (3)= ] 3- □(ε/2 );3+ □(ε/2) [
Supponendo che ε = 1, il grafico sarà così rappresentabile:

Per x che tende a 3, f(x) ha limite 6: lim┬(x →3)⁡f(x)=6.
Premesse ed esempio fatto, è possibile stabilire che si ha un limite finito di una funzione f(x) – con x tendente ad x0 e, per limite, numero reale l – se si può determinare un intorno completo I di x0 tale che |f(x)-l|< ε, cioè lim┬(x → x_0 )⁡f(x)=l. Per essere valido, la condizione f(x) deve essere definita in tutti i punti dell’intorno I(x0), escluso al più x0:
〖lim〗┬(x → x_0 )⁡f(x)=l se ∀ε>0 ∃I(x_0 ): |f(x)-l|<ε,∀x∈I(x_0 ),x≠ x_0 .
Nel caso in cui x0 appartenga al dominio di f e coincida anche con il limite di f(x) si dice che f è continua in x0. Geograficamente parlando, le funzioni continue avranno un grafico la cui curva è senza interruzioni (retta o parabola). Per calcolare il limite è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto dato – per una funzione f(x) = 2x continua nel punto 7: lim┬(x →7)⁡2x=2*7=14. Essa, a seconda dei suoi componenti, è classificabile in:
Funzione costante: f(x) = k è continua in tutto R – lim┬(x → x_0 )⁡k=k;
Funzione polinomiale: f(x)= 〖3x〗^2-2x+5 è continua in R (generalmente sono tutte continue, specialmente le potenze di x);

Funzione radice quadrata: y= √x, definita in R^+ ∪ {0}, è continua per ogni x reale positivo o nullo;
Funzioni goniometriche: sono continue sia sin⁡x che cos⁡x, come anche le loro derivanti;
Funzione esponenziale: y= a^x, con a > 0 è continua in tutto R;
Funzione logaritmica: y=log_a⁡x, con a > 0, a ≠ 1, definita in tutto R+.
Anche i limiti necessitano di una loro classificazione: ve ne sono per eccesso o difetto, sinistri o destri:
Limite per eccesso : nel caso in cui f(x) tende a l per eccesso si ha un limite lim┬(x → x_0 )⁡f(x)= l^+, con aggiunta condizione f(x) > l;
Limite per difetto : nel caso in cui f(x) tende ad l per difetto si ha un limite lim┬(x → x_0 )⁡f(x)= l^-, con aggiunta condizione f(x) < l;
Limite destro: nel caso in cui un limite lim┬(x → x_0^+ )⁡f(x)=l si verifichi per ogni x appartenente all’intorno destro di x0, cioè ] x_0; x_0+ δ [;
Limite sinistro: nel caso in cui un limite lim┬(x → x_0^- )⁡f(x)=l si verifichi per ogni x appartenente all’intorno sinistro di x0, cioè ] x_0- δ; x_0 [.
Se, invece, i valori della funzione crescono sempre di più, si dice che la funzione f diverge positivamente e tende a +∞. Si ha un limite +∞ per x che tende ad xo se la funzione f(x) – definita in un intervallo [a; b], ma non definita con x0 interno allo stesso intervallo – tenderà a +∞ se per ogni numero reale positivo M è determinabile un intorno completo di I di x0, tale che f(x) > M:
〖lim〗┬(x → x_0 )⁡f(x)= +∞ se ∀M>0 ∃I(x_0 ):f(x)>M,∀x∈I(x_0 ),x ≠ x_0.
Nel caso opposto, si dice che la funzione f diverge negativamente. Si ha un limite -∞ per x che tende ad x0 se una funzione f(x) – definita in un intervallo [a; b], ma non definita con x0 interno allo stesso intervallo – tenderà a -∞ se per ogni numero reale positivo M è determinabile un intorno completo I di x0, tale che f(x) < M:
〖lim〗┬(x → x_0 )⁡f(x)= -∞ se ∀M>0 ∃I(x_0 ):f(x)<M,∀x∈I(x_0 ),x ≠ x_0.
Prendendo in considerazione sia una funzione divergente positivamente che una negativamente, è possibile dire che non esiste un limite, ad esempio, per x → 0: lim┬(x → x_0 )⁡f(x)= ∞ .
Tra le applicazioni a livello grafico dei limiti, rientra la determinazione degli asintoti, in questo caso, verticali. Se lim┬(x → c)⁡f(x)= +∞,-∞ oppure ∞ allora si ha che x = c è un asintoto verticale che possono essere anche infiniti.
Spostando l’ottica, su un limite finito di una funzione per x che tende a +∞, i valori di x saranno sempre maggiori, superando un qualunque numero reale positivo c. Si ha una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a destra – che tende al numero reale l per x tendente a +∞, quando si può determinare un intorno I di +∞ tale che |f(x)-l|< ε per ogni x∈I: 〖lim〗┬(x → +∞)⁡f(x)= l se ∀ε>0 ∃c>0: |f(x)-l|< ε,∀x>c.
Con un limite finito di una funzione con x che tende a -∞, in questo caso, si ha una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a sinistra – con limite reale l per x tendente a -∞, quando si può trovare un intorno I di -∞ tale che |f(x)-l|< ε per ogni x∈I:
〖lim〗┬(x → -∞)⁡f(x)= l se ∀ε>0 ∃c>0: |f(x)-l|< ε,∀x<-c.
Entrami i casi possono essere sintetizzati se si considera un intorno di ∞ determinato dalle x per le quali |x| > c, ossia x< -c V x>c, con c numero reale casuale.
Proseguendo con la determinazione degli asintoti orizzontali i lim┬(x → +∞)⁡f(x)= q oppure lim┬(x → -∞)⁡f(x)= q o, ancora, lim┬(x → ∞)⁡f(x)= q allora si ha che y = q, che è un asintoto orizzontale. Esso può essere destro o sinistro ed inoltre, la distanza di un punto P da un asintoto orizzontale tende a 0 quando x tende a +∞, -∞, ∞.
Una funzione diverge positivamente in due casi:
Limite +∞ di una funzione per x che tende a +∞, se in una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a destra – per x che tende a +∞ si può definire un intorno I di +∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → +∞)⁡f(x)= +∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)> M,∀x>c;
Limite +∞ di una funzione per x che tende a -∞, se in una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a sinistra – per x che tende a -∞ si può definire un intorno I di -∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → -∞)⁡f(x)= +∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)> M,∀x<-c.
In opposizione, una funzione diverge negativamente, sempre, in due casi:
Limite -∞ di una funzione per x che tende a +∞, se in una funzione f(x) per x che tende a +∞ si può determinare un intorno I di +∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → +∞)⁡f(x)= -∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)<- M,∀x>c;
Limite -∞ di una funzione per x che tende a -∞, se in una funzione f(x) per x che tende a -∞ si può determinare un intorno I di -∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → -∞)⁡f(x)= -∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)<- M,∀x<-c.
In generale, sia y = f(x) una funzione con dominio D e sia x0 un punto di accumulazione di D: l è il limite di f(x) per x che tende a x0 se per ogni intorno I(x0) di x0 tale che ∀x∈D∩I(x_0), escluso al più x0, si ha f(x)∈I(l).
A prescindere dal valore a cui tende x, vi sono tre teoremi d’applicazione per i limiti.
Teorema di unicità del limite: se f(x) ha limite finito l per x → x0, allora tale limite è unico. Come dimostrato:
Supponiamo che la tesi sia falsa quindi, se l non è unico:
lim┬(x → x_0 )⁡〖f(x)〗=l e lim┬(x → x_0 )⁡〖f(x)〗=l', con l e l’ entrambi finiti e l’ ≠ l.
Possiamo supporre l < l’ e, poiché nella definizione di limite possiamo scegliere arbitrariamente ε purché sia positivo, consideriamo: ε< (l^'- l)/2. Applichiamo la definizione di limite in entrambi i casi. Dovrebbero esistere due intorni l e l’ di x0, tali che: |f(x)-l|< ε per ogni x ∈I, |f(x)-l'|< ε per ogni x ∈I'. Anche I ∩I^' di x_0 in cui devono valere contemporaneamente le due disequazioni: {█(l- ε<f(x)<l+ ε@l'- ε<f(x)<l'+ ε)┤ ma, dal confronto delle disuguaglianze – ricordando che l < l’ – risulta che: ε> (l^'-l)/2 che è contrario all’ipotesi iniziale.
Teorema della permanenza del segno: se il limite di una funzione per x che tende a x0 è un numero l diverso da 0, allora esiste un intorno I di x0 (escluso al più x0) in cui f(x) e l sono entrambi positivi o negativi.
Se una funzione f(x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e in un intorno I (x0) di x0 – escluso al più x0 – è: positiva o nulla, allora l ≥ 0; negativa o nulla, allora l ≤ 0.
Teorema del confronto: siano h(x), f(x) e g(x) tre funzioni definite in uno stesso intorno H di x0 – escluso al più il punto x0. Se in ogni punti di H diverso da x0 risulta h(x)≤ f(x)≤g(x) e il limite delle due funzioni h(x) e g(x), per x che tende a x0, è uno stesso numero l, allora anche il limite si f(x) per x che tende a x0 e uguale a l. Tuttavia vi sono due casi particolari:
1. Date le funzioni f(x) e g(x), definite in uno stesso intorno I di x0 – escluso al più x0 – se per ogni x ≠ x0 di I è: |f(x)| ≤ |g(x)| e lim┬(x → x_0 )⁡g(x)=0, allora lim┬(x → x_0 )⁡f(x)=0;
2. Date le funzioni f(x) e g(x), definite in uno stesso intorno I di x0 – escluso al più x0 – se per ogni x ≠ x0 di I è: |f(x)| ≥ |g(x)| e lim┬(x → x_0 )⁡g(x)= ∞, allora lim┬(x → x_0 )⁡f(x)=∞.

Vi sono, inoltre, anche altri modi di calcolare i limiti come, ad esempio, per le funzioni elementari , dove incontreremo le forme indeterminate:
Funzioni potenza: y= x^n – sarà, se n è:
pari lim┬(x → ±∞)⁡〖x^n 〗= +∞ oppure dispari lim┬(x → -∞)⁡〖x^n 〗= -∞, lim┬(x → +∞)⁡〖x^n 〗= +∞.
Funzioni radice: y= √(n&x) – sarà, se n è:
pari lim┬(x → 0^+ )⁡√(n&x)= 0, lim┬(x → +∞)⁡√(n&x)= +∞ oppure dispari lim┬(x → -∞)⁡√(n&x)= -∞, lim┬(x → +∞)⁡√(n&x)= +∞.
Funzioni esponenziali: y= a^x – se:
a > 1 lim┬(x → -∞)⁡〖a^x 〗= 0, lim┬(x → +∞)⁡〖a^x 〗= +∞ oppure 0 < a < 1 lim┬(x → -∞)⁡〖a^x 〗= +∞, lim┬(x → +∞)⁡〖a^x 〗= 0.
Funzioni logaritmiche: y= log_a⁡x – se:
a > 1 lim┬(x → 0^+ )⁡log_a⁡x = -∞, lim┬(x → +∞)⁡log_a⁡x = +∞ oppure 0 < a < 1 lim┬(x → 0^+ )⁡log_a⁡x = +∞, lim┬(x → +∞)⁡log_a⁡x = -∞.
Limite della somma: si ha forma indeterminata +∞ -∞, si applica
-Se lim┬(x → a)⁡〖f(x)〗⁡〖=l〗 e lim┬(x → a)⁡〖g(x)〗=m, dove l,m∈R allora:
la somma algebrica di due funzioni continue è una funzione continua: lim┬(x → a)⁡|f(x)+g(x)|= lim┬(x →a)⁡〖f(x)〗+ lim┬(x →a)⁡〖g(x)〗=l+m.
Limite del prodotto: si ha forma indeterminata 0 ∞, si applica
-Nel caso del prodotto di una costante per un limite finito sia k un numero reale diverso da 0 e lim┬(x → a)⁡〖f(x)〗= l ∈R allora: lim┬(x → a)⁡〖[k f(x)]〗* lim┬(x→a)⁡f(x)=k*l;
-Nel caso di funzioni con limiti finiti se lim┬(x → a) f(x)=l e lim┬(x → a) g(x)=m, con l,m ∈R allora:
il prodotto di due funzioni continue è una funzione continua:
lim┬(x → a) [f(x)g(x)]= lim┬(x → a) f(x)* lim┬(x → a) g(x)=l*m;
-Nel caso di una potenza di funzione lim┬(x → a) f(x)=l allora lim┬(x → a) 〖[f(x)]〗^n= l^n, ∀n∈N- {0}.
Limite del quoziente: si ha forma indeterminata 0/0 e ∞/∞, si applica
-Nel caso di funzioni con limite finito se lim┬(x → a) f(x)=l e lim┬(x → a) g(x)=m, con l,m ∈R e m ≠ 0, allora:
il quoziente di due funzioni continue con denominatore g(x) in un punto x0 è una funzione continua se g(x0)≠0:
lim┬(x → a) (f(x))/(g(x))= ( lim┬(x → a) f(x))/(lim┬(x → a) g(x))= l/m
ma, se m = 0 vi sono due casi:
1. l ≠ 0 → lim┬(x → a) (f(x)→tende a l)/(g(x)→tende a 0)
2. l = 0 → lim┬(x → a) (f(x))/(g(x)) dove entrambe le funzioni tendono a 0.
Limite della potenza del tipo [f(x)]g(x): si ha forma indeterminata 00, 1∞, ∞0, si applica
-Se lim┬(x → a) f(x)=l>0 e lim┬(x → a) g(x)=m, allora: lim┬(x → a) 〖[f(x)]〗^(g(x))= l^m.
Limite delle funzioni composte: siano y = f(z) e z = g(x) tali che f(z) è continua in z0 e lim┬(x → a) g(x)= z_0, allora: lim┬(x → a) f(g(x))=f(lim┬(x → a) g(x))=f(z_0).
Le funzioni indeterminate che si possono incontrare, come sopraccennato, sono sette:
Forma indeterminata +∞ -∞: per calcolare il limite di una funzione di grado n per x →±∞, si raccoglie a fattor comune xn: lim┬(x → ±∞) (a_0 x^n+ a_1 x^(n-1)+⋯+ a_n )= lim┬(x → ±∞) a_0 x^n.
Forma indeterminata 0 ∞: si svolge la funzione moltiplicandola o dividendola per un valore n, in modo da eliminare i fattori che determinano l’indecisione.
Forma indeterminata □(∞/∞): data una funzione razionale fratta lim┬(x → ±∞) (a_0 x^n+ a_1 x^(n-1)+⋯+ a_n)/(b_0 m+ a_1 x^(m-1)+⋯+ b_m )= {█(±∞ se n>m@a_0⁄b_0 se n=m@0 se n<m)┤.
Forma indeterminata 00, 1∞, ∞0: si ricorre a 〖f(x)〗^(g(x))= e^(g(x)ln⁡〖f(x)〗 ).
Oltre a limiti elementari e forme indeterminate, vi sono i limiti notevoli – così definiti grazie alla loro importanza:
Limiti di funzioni goniometriche: lim┬(x → 0) sin⁡x/x=1 oppure lim┬(x°→ 0) sin⁡〖x°〗/(x°)= π/(180°)
lim┬(x → 0) (1- cos⁡x)/x=0 o anche lim┬(x → 0) (1- cos⁡x)/x^2 = 1/2.
Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche: lim┬(x → ±∞) (1+ 1/x)^x=e , lim┬(x → 0) ln⁡〖(1+x)〗/x=1, lim┬(x → 0) (e^x-1)/x=1, lim┬(x → 0) (〖(1+x)〗^k-1)/x=k.

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