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Sintesi

I limiti



Per capire i limiti, c’è prima da prendere in analisi il concetto d’intervallo a cui esso può appartenere o meno. Un intervallo è un sotto-insieme di numeri reali e, geometricamente, corrisponde ad una semiretta (nel caso sia un intervallo illimitato) o ad una retta (intervallo limitato). Oltre a queste caratteristiche, esso può essere chiuso (se gli estremi appartengono all’intervallo) o aperto (se essi non vi appartengono). Come mostrato:
Esempi di intervalli limitati:

Da queste quattro tipologie si possono ricavare le caratteristiche degli intervalli: gli estremi (a, b), l’ampiezza (b – a), il raggio ((b-a)/2), il centro ((b+a)/2).
Esempi di intervalli illimitati:

Uno dei due estremi dei limiti è a, poiché +∞ e -∞ non sono numeri reali e sono esclusi dall’intervallo.
Analizzando i punti di un intervallo, possiamo avere dei numeri classificati come “intorno”. Un intorno completo di x0 (numero reale) è un intervallo qualunque di I (x0), così definibile:
I (x_0 )= ] x_0- δ_1; x_0+ δ_2 [
dove δ_1 e δ_2 sono numeri reali, come mostrato nell’esempio:

Nel caso in cui δ_1= δ_2 , x0 sarà un punto medio. Si avrà che l’intervallo aperto I_δ (x_0) ha un centro x0 e raggio δ – si tratta di un introno circolare, così definibile:
I_δ (x_0 )= ] x_0- δ; x_0+ δ [

Gli intorni, inoltre, possono essere di due tipi:
Destro di x0: intervallo I_δ^+ (x_0 )= ] x_0; x_0+ δ [ ;
Sinistro di x0: intervallo I_δ^- (x_0 )= ] x_0- δ; x_0 [ .
Vi sono anche intorni d’infinito:
Intorno di meno infinito: un intervallo aperto illimitato inferiormente: I (-∞)= ]-∞;a[ = {x ∈R:x<a} ;
Intorno di più infinito: un intervallo aperto illimitato superiormente: I (+∞)= ] b; +∞ [ = {x∈R:x>b} ;
Intorno di infinito: unione tra l’intorno di -∞ e di +∞, ossia: I (∞)= I(-∞) U I(+∞)= {x ∈R:x<a V x>b} ;
Intorno circolare di infinito: intorno di x0, cioè I_c (∞)= ]-∞; -c c; +∞ [ con c ∈ R^+.
Non tutti gli insiemi sono intervalli ma anch’essi possono essere limitati o illimitati. Un insieme numerico F ∁ R è detto:
Superiormente limitato: si può determinare un numero reale α (detto maggiorante di F) tale che x ≤ α ∀ x ∈F , se appartiene all’insieme è detto anche massimo – vi è un estremo superiore (supE) di E tale che il suo numero reale M:
x ≤ M , con ∀x ∈E
∀ε>0 ∃x∈E tale che x>(M- ε) ;
Inferiormente limitato: si può determinare un numero reale β (detto minorante di F) tale che x ≥ β ∀ x ∈F, se appartiene all’insieme è detto anche minimo – vi è un estremo inferiore di E tale che il suo numero reale L:
x ≥ L , con ∀x ∈E
∀ε>0 ∃x∈E tale che x<(L+ ε) ;
Limitato : se è contenuto da un intervallo limitato – F è limitato se il numero reale k è tale che |x| ≤k ∀ x ∈F.
Un insieme numerico finito è sempre contenuto in un intervallo limitato. Tuttavia, vi sono anche altri insiemi:
Illimitati superiormente: se vi è un numero reale m rispetto cui F è maggiore, cioè ∀m ∈R ∃x∈F tale che x > m;
Illimitati inferiormente: vi è un numero reale m a cui F è inferiore, cioè ∀m ∈R ∃x∈F tale che x < m;
Illimitati: l’insieme è limitato sia superiormente che inferiormente.
Prendendo, ora, in esame la funzione y = f(x) , come mostrata nel grafico:

Per meglio capire la funzione, consideriamo il seguente esempio, con l’obiettivo di studiarla vicino al punto x0 = 3 :
y=f(x)= (〖2x〗^2-6x)/(x-3), D= R- {3}.
Poiché f(x) non è definita in 3, non è possibile considerare f(3). È necessario, quindi, studiare la funzione quando si approssima a quel dato valore, di conseguenza diamo ad x un tot. valori che si avvicina a 3tabella.
x 2,9 2,99 2,999 → 3 ← 3,001 3,01 3,1
f(x) 5,8 5,98 5,998 → ? ← 6,002 6,02 6,2
Poiché all’avvicinarsi di x a 3, f(x) si avvicina a 6, se preso un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre minore, allora f(x) si trova in un intorno di 6 sempre minore. Esaminato attraverso un qualunque intorno circolare, invece, di 6 di ampiezza ε Iε(6), vi sarà sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x ≠ 3) avranno un’immagine di f(x) contenuta nell’intorno Iε(6), poiché soddisfano la disequazione
|f(x)-6|< ε → |(〖2x〗^2-6x)/(x-3)|< ε → |(2x (x-3))/(x-3)-6|< ε → |(2x (x-3)-6 (x-3))/(x-3)|< ε → |((2x-6)(x-3))/(x-3)|< ε
prendendo in considerazione la condizione d’esistenza, semplifichiamo
|2x-6|< ε → 2|x-3|< ε → |x-3|< □(ε/2) → 3- □(ε/2 )<x<3+ □(ε/2)
quindi, le soluzioni della disequazione saranno i punti dell’intorno
I (3)= ] 3- □(ε/2 );3+ □(ε/2) [
Supponendo che ε = 1, il grafico sarà così rappresentabile:

Per x che tende a 3, f(x) ha limite 6: lim┬(x →3)⁡f(x)=6.
Premesse ed esempio fatto, è possibile stabilire che si ha un limite finito di una funzione f(x) – con x tendente ad x0 e, per limite, numero reale l – se si può determinare un intorno completo I di x0 tale che |f(x)-l|< ε, cioè lim┬(x → x_0 )⁡f(x)=l. Per essere valido, la condizione f(x) deve essere definita in tutti i punti dell’intorno I(x0), escluso al più x0:
〖lim〗┬(x → x_0 )⁡f(x)=l se ∀ε>0 ∃I(x_0 ): |f(x)-l|<ε,∀x∈I(x_0 ),x≠ x_0 .
Nel caso in cui x0 appartenga al dominio di f e coincida anche con il limite di f(x) si dice che f è continua in x0. Geograficamente parlando, le funzioni continue avranno un grafico la cui curva è senza interruzioni (retta o parabola). Per calcolare il limite è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto dato – per una funzione f(x) = 2x continua nel punto 7: lim┬(x →7)⁡2x=2*7=14. Essa, a seconda dei suoi componenti, è classificabile in:
Funzione costante: f(x) = k è continua in tutto R – lim┬(x → x_0 )⁡k=k;
Funzione polinomiale: f(x)= 〖3x〗^2-2x+5 è continua in R (generalmente sono tutte continue, specialmente le potenze di x);
Funzione radice quadrata: y= √x, definita in R^+ ∪ {0}, è continua per ogni x reale positivo o nullo;
Funzioni goniometriche: sono continue sia sin⁡x che cos⁡x, come anche le loro derivanti;
Funzione esponenziale: y= a^x, con a > 0 è continua in tutto R;
Funzione logaritmica: y=log_a⁡x, con a > 0, a ≠ 1, definita in tutto R+.
Anche i limiti necessitano di una loro classificazione: ve ne sono per eccesso o difetto, sinistri o destri:
Limite per eccesso : nel caso in cui f(x) tende a l per eccesso si ha un limite lim┬(x → x_0 )⁡f(x)= l^+, con aggiunta condizione f(x) > l;
Limite per difetto : nel caso in cui f(x) tende ad l per difetto si ha un limite lim┬(x → x_0 )⁡f(x)= l^-, con aggiunta condizione f(x) < l;
Limite destro: nel caso in cui un limite lim┬(x → x_0^+ )⁡f(x)=l si verifichi per ogni x appartenente all’intorno destro di x0, cioè ] x_0; x_0+ δ [;
Limite sinistro: nel caso in cui un limite lim┬(x → x_0^- )⁡f(x)=l si verifichi per ogni x appartenente all’intorno sinistro di x0, cioè ] x_0- δ; x_0 [.
Se, invece, i valori della funzione crescono sempre di più, si dice che la funzione f diverge positivamente e tende a +∞. Si ha un limite +∞ per x che tende ad xo se la funzione f(x) – definita in un intervallo [a; b], ma non definita con x0 interno allo stesso intervallo – tenderà a +∞ se per ogni numero reale positivo M è determinabile un intorno completo di I di x0, tale che f(x) > M:
〖lim〗┬(x → x_0 )⁡f(x)= +∞ se ∀M>0 ∃I(x_0 ):f(x)>M,∀x∈I(x_0 ),x ≠ x_0.
Nel caso opposto, si dice che la funzione f diverge negativamente. Si ha un limite -∞ per x che tende ad x0 se una funzione f(x) – definita in un intervallo [a; b], ma non definita con x0 interno allo stesso intervallo – tenderà a -∞ se per ogni numero reale positivo M è determinabile un intorno completo I di x0, tale che f(x) < M:
〖lim〗┬(x → x_0 )⁡f(x)= -∞ se ∀M>0 ∃I(x_0 ):f(x)<M,∀x∈I(x_0 ),x ≠ x_0.
Prendendo in considerazione sia una funzione divergente positivamente che una negativamente, è possibile dire che non esiste un limite, ad esempio, per x → 0: lim┬(x → x_0 )⁡f(x)= ∞ .
Tra le applicazioni a livello grafico dei limiti, rientra la determinazione degli asintoti, in questo caso, verticali. Se lim┬(x → c)⁡f(x)= +∞,-∞ oppure ∞ allora si ha che x = c è un asintoto verticale che possono essere anche infiniti.
Spostando l’ottica, su un limite finito di una funzione per x che tende a +∞, i valori di x saranno sempre maggiori, superando un qualunque numero reale positivo c. Si ha una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a destra – che tende al numero reale l per x tendente a +∞, quando si può determinare un intorno I di +∞ tale che |f(x)-l|< ε per ogni x∈I: 〖lim〗┬(x → +∞)⁡f(x)= l se ∀ε>0 ∃c>0: |f(x)-l|< ε,∀x>c.
Con un limite finito di una funzione con x che tende a -∞, in questo caso, si ha una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a sinistra – con limite reale l per x tendente a -∞, quando si può trovare un intorno I di -∞ tale che |f(x)-l|< ε per ogni x∈I:
〖lim〗┬(x → -∞)⁡f(x)= l se ∀ε>0 ∃c>0: |f(x)-l|< ε,∀x<-c.
Entrami i casi possono essere sintetizzati se si considera un intorno di ∞ determinato dalle x per le quali |x| > c, ossia x< -c V x>c, con c numero reale casuale.
Proseguendo con la determinazione degli asintoti orizzontali i lim┬(x → +∞)⁡f(x)= q oppure lim┬(x → -∞)⁡f(x)= q o, ancora, lim┬(x → ∞)⁡f(x)= q allora si ha che y = q, che è un asintoto orizzontale. Esso può essere destro o sinistro ed inoltre, la distanza di un punto P da un asintoto orizzontale tende a 0 quando x tende a +∞, -∞, ∞.
Una funzione diverge positivamente in due casi:
Limite +∞ di una funzione per x che tende a +∞, se in una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a destra – per x che tende a +∞ si può definire un intorno I di +∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → +∞)⁡f(x)= +∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)> M,∀x>c;
Limite +∞ di una funzione per x che tende a -∞, se in una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a sinistra – per x che tende a -∞ si può definire un intorno I di -∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → -∞)⁡f(x)= +∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)> M,∀x<-c.
In opposizione, una funzione diverge negativamente, sempre, in due casi:
Limite -∞ di una funzione per x che tende a +∞, se in una funzione f(x) per x che tende a +∞ si può determinare un intorno I di +∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → +∞)⁡f(x)= -∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)<- M,∀x>c;
Limite -∞ di una funzione per x che tende a -∞, se in una funzione f(x) per x che tende a -∞ si può determinare un intorno I di -∞ per ogni numero reale positivo M:
〖lim〗┬(x → -∞)⁡f(x)= -∞ se ∀M>0 ∃c>0: f(x)<- M,∀x<-c.
In generale, sia y = f(x) una funzione con dominio D e sia x0 un punto di accumulazione di D: l è il limite di f(x) per x che tende a x0 se per ogni intorno I(x0) di x0 tale che ∀x∈D∩I(x_0), escluso al più x0, si ha f(x)∈I(l).
A prescindere dal valore a cui tende x, vi sono tre teoremi d’applicazione per i limiti.
Teorema di unicità del limite: se f(x) ha limite finito l per x → x0, allora tale limite è unico. Come dimostrato:
Supponiamo che la tesi sia falsa quindi, se l non è unico:
lim┬(x → x_0 )⁡〖f(x)〗=l e lim┬(x → x_0 )⁡〖f(x)〗=l', con l e l’ entrambi finiti e l’ ≠ l.
Possiamo supporre l < l’ e, poiché nella definizione di limite possiamo scegliere arbitrariamente ε purché sia positivo, consideriamo: ε< (l^'- l)/2. Applichiamo la definizione di limite in entrambi i casi. Dovrebbero esistere due intorni l e l’ di x0, tali che: |f(x)-l|< ε per ogni x ∈I, |f(x)-l'|< ε per ogni x ∈I'. Anche I ∩I^' di x_0 in cui devono valere contemporaneamente le due disequazioni: {█(l- ε<f(x)<l+ ε@l'- ε<f(x)<l'+ ε)┤ ma, dal confronto delle disuguaglianze – ricordando che l < l’ – risulta che: ε> (l^'-l)/2 che è contrario all’ipotesi iniziale.
Teorema della permanenza del segno: se il limite di una funzione per x che tende a x0 è un numero l diverso da 0, allora esiste un intorno I di x0 (escluso al più x0) in cui f(x) e l sono entrambi positivi o negativi.
Se una funzione f(x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e in un intorno I (x0) di x0 – escluso al più x0 – è: positiva o nulla, allora l ≥ 0; negativa o nulla, allora l ≤ 0.
Teorema del confronto: siano h(x), f(x) e g(x) tre funzioni definite in uno stesso intorno H di x0 – escluso al più il punto x0. Se in ogni punti di H diverso da x0 risulta h(x)≤ f(x)≤g(x) e il limite delle due funzioni h(x) e g(x), per x che tende a x0, è uno stesso numero l, allora anche il limite si f(x) per x che tende a x0 e uguale a l. Tuttavia vi sono due casi particolari:
1. Date le funzioni f(x) e g(x), definite in uno stesso intorno I di x0 – escluso al più x0 – se per ogni x ≠ x0 di I è: |f(x)| ≤ |g(x)| e lim┬(x → x_0 )⁡g(x)=0, allora lim┬(x → x_0 )⁡f(x)=0;
2. Date le funzioni f(x) e g(x), definite in uno stesso intorno I di x0 – escluso al più x0 – se per ogni x ≠ x0 di I è: |f(x)| ≥ |g(x)| e lim┬(x → x_0 )⁡g(x)= ∞, allora lim┬(x → x_0 )⁡f(x)=∞.

Vi sono, inoltre, anche altri modi di calcolare i limiti come, ad esempio, per le funzioni elementari , dove incontreremo le forme indeterminate:
Funzioni potenza: y= x^n – sarà, se n è:
pari lim┬(x → ±∞)⁡〖x^n 〗= +∞ oppure dispari lim┬(x → -∞)⁡〖x^n 〗= -∞, lim┬(x → +∞)⁡〖x^n 〗= +∞.
Funzioni radice: y= √(n&x) – sarà, se n è:
pari lim┬(x → 0^+ )⁡√(n&x)= 0, lim┬(x → +∞)⁡√(n&x)= +∞ oppure dispari lim┬(x → -∞)⁡√(n&x)= -∞, lim┬(x → +∞)⁡√(n&x)= +∞.
Funzioni esponenziali: y= a^x – se:
a > 1 lim┬(x → -∞)⁡〖a^x 〗= 0, lim┬(x → +∞)⁡〖a^x 〗= +∞ oppure 0 < a < 1 lim┬(x → -∞)⁡〖a^x 〗= +∞, lim┬(x → +∞)⁡〖a^x 〗= 0.
Funzioni logaritmiche: y= log_a⁡x – se:
a > 1 lim┬(x → 0^+ )⁡log_a⁡x = -∞, lim┬(x → +∞)⁡log_a⁡x = +∞ oppure 0 < a < 1 lim┬(x → 0^+ )⁡log_a⁡x = +∞, lim┬(x → +∞)⁡log_a⁡x = -∞.
Limite della somma: si ha forma indeterminata +∞ -∞, si applica
-Se lim┬(x → a)⁡〖f(x)〗⁡〖=l〗 e lim┬(x → a)⁡〖g(x)〗=m, dove l,m∈R allora:
la somma algebrica di due funzioni continue è una funzione continua: lim┬(x → a)⁡|f(x)+g(x)|= lim┬(x →a)⁡〖f(x)〗+ lim┬(x →a)⁡〖g(x)〗=l+m.
Limite del prodotto: si ha forma indeterminata 0 ∞, si applica
-Nel caso del prodotto di una costante per un limite finito sia k un numero reale diverso da 0 e lim┬(x → a)⁡〖f(x)〗= l ∈R allora: lim┬(x → a)⁡〖[k f(x)]〗* lim┬(x→a)⁡f(x)=k*l;
-Nel caso di funzioni con limiti finiti se lim┬(x → a) f(x)=l e lim┬(x → a) g(x)=m, con l,m ∈R allora:
il prodotto di due funzioni continue è una funzione continua:
lim┬(x → a) [f(x)g(x)]= lim┬(x → a) f(x)* lim┬(x → a) g(x)=l*m;
-Nel caso di una potenza di funzione lim┬(x → a) f(x)=l allora lim┬(x → a) 〖[f(x)]〗^n= l^n, ∀n∈N- {0}.
Limite del quoziente: si ha forma indeterminata 0/0 e ∞/∞, si applica
-Nel caso di funzioni con limite finito se lim┬(x → a) f(x)=l e lim┬(x → a) g(x)=m, con l,m ∈R e m ≠ 0, allora:
il quoziente di due funzioni continue con denominatore g(x) in un punto x0 è una funzione continua se g(x0)≠0:
lim┬(x → a) (f(x))/(g(x))= ( lim┬(x → a) f(x))/(lim┬(x → a) g(x))= l/m
ma, se m = 0 vi sono due casi:
1. l ≠ 0 → lim┬(x → a) (f(x)→tende a l)/(g(x)→tende a 0)
2. l = 0 → lim┬(x → a) (f(x))/(g(x)) dove entrambe le funzioni tendono a 0.
Limite della potenza del tipo [f(x)]g(x): si ha forma indeterminata 00, 1∞, ∞0, si applica
-Se lim┬(x → a) f(x)=l>0 e lim┬(x → a) g(x)=m, allora: lim┬(x → a) 〖[f(x)]〗^(g(x))= l^m.
Limite delle funzioni composte: siano y = f(z) e z = g(x) tali che f(z) è continua in z0 e lim┬(x → a) g(x)= z_0, allora: lim┬(x → a) f(g(x))=f(lim┬(x → a) g(x))=f(z_0).
Le funzioni indeterminate che si possono incontrare, come sopraccennato, sono sette:
Forma indeterminata +∞ -∞: per calcolare il limite di una funzione di grado n per x →±∞, si raccoglie a fattor comune xn: lim┬(x → ±∞) (a_0 x^n+ a_1 x^(n-1)+⋯+ a_n )= lim┬(x → ±∞) a_0 x^n.
Forma indeterminata 0 ∞: si svolge la funzione moltiplicandola o dividendola per un valore n, in modo da eliminare i fattori che determinano l’indecisione.
Forma indeterminata □(∞/∞): data una funzione razionale fratta lim┬(x → ±∞) (a_0 x^n+ a_1 x^(n-1)+⋯+ a_n)/(b_0 m+ a_1 x^(m-1)+⋯+ b_m )= {█(±∞ se n>m@a_0⁄b_0 se n=m@0 se n<m)┤.
Forma indeterminata 00, 1∞, ∞0: si ricorre a 〖f(x)〗^(g(x))= e^(g(x)ln⁡〖f(x)〗 ).
Oltre a limiti elementari e forme indeterminate, vi sono i limiti notevoli – così definiti grazie alla loro importanza:
Limiti di funzioni goniometriche: lim┬(x → 0) sin⁡x/x=1 oppure lim┬(x°→ 0) sin⁡〖x°〗/(x°)= π/(180°)
lim┬(x → 0) (1- cos⁡x)/x=0 o anche lim┬(x → 0) (1- cos⁡x)/x^2 = 1/2.
Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche: lim┬(x → ±∞) (1+ 1/x)^x=e , lim┬(x → 0) ln⁡〖(1+x)〗/x=1, lim┬(x → 0) (e^x-1)/x=1, lim┬(x → 0) (〖(1+x)〗^k-1)/x=k.
Estratto del documento

Pero Claudia A.S. 2017/2018

I Limiti: analisi della funzione matematica

Per capire i limiti, c’è prima da prendere in analisi il concetto d’intervallo a cui esso può appartenere o meno.

Un intervallo è un sotto-insieme di numeri reali e, geometricamente, corrisponde ad una semiretta (nel caso

sia un intervallo illimitato) o ad una retta (intervallo limitato). Oltre a queste caratteristiche, esso può essere

chiuso (se gli estremi appartengono all’intervallo) o aperto (se essi non vi appartengono). Come mostrato:

 Esempi di intervalli limitati:

Da queste quattro tipologie si possono ricavare le caratteristiche degli intervalli: gli estremi (a, b),

b−a b+a

l’ampiezza (b – a), il raggio ( ), il centro ( ).

2 2

 Esempi di intervalli illimitati:

Uno dei due estremi dei limiti è a, poiché +∞ e -∞ non sono numeri reali e sono esclusi

dall’intervallo.

Analizzando i punti di un intervallo, possiamo avere dei numeri classificati come “intorno”. Un intorno completo di x 0

(numero reale) è un intervallo qualunque di I (x ), così definibile:

0

¿ δ δ

dove e sono numeri reali, come mostrato nell’esempio:

( ) =¿ −δ + ¿

I x x ; x δ 1 2

0 0 1 0 2

=δ

δ (x )

I

Nel caso in cui , x sarà un punto medio. Si avrà che l’intervallo aperto ha un centro x e raggio

0 0

δ 0

1 2 δ – si tratta di un introno circolare, così definibile:

¿ 1

( ) =¿ −δ +δ ¿

I x x ; x

δ 0 0 0

Gli intorni, inoltre, possono essere di due tipi:

¿

( )

+¿ =¿ + ¿

x x ; x δ

1. x :

Destro di intervallo ;

0 0 0

0 ¿

I δ

¿

( )

−¿ =¿ −δ ¿

x x ; x

2. x :

Sinistro di intervallo .

0 0 0

0 ¿

I δ

Vi sono anche intorni d’infinito: { }

∈

¿ <a

x R : x

1. Intorno di meno infinito: un intervallo aperto illimitato inferiormente: ;

(−∞ )=¿−∞ ¿

I ; a

{ }

∈

¿ x R : x> b

2. Intorno di più infinito: un intervallo aperto illimitato superiormente: ;

( )=¿

+∞ +∞ ¿

I b ;

1 Da ricordare che: l’intersezione e l’unione di più intorni completi di x sono intorni completi di x .

0 0 1

Pero Claudia A.S. 2017/2018

I Limiti: analisi della funzione matematica

3. Intorno di infinito: unione tra l’intorno di -∞ e di +∞, ossia:

{ }

( )=I (−∞ ) ( )= ∈

+∞ >b

I ∞ U I x R : x< a V x ;

¿ +¿

4. x

Intorno circolare di infinito: intorno di , cioè con .

[ ] ¿

( )=¿−∞ ∈

I ∞ ;−c U c ;+ ∞¿ c R

0 c

Non tutti gli insiemi sono intervalli ma anch’essi possono essere limitati o illimitati. Un insieme numerico

∁

F R è detto: α

 Superiormente limitato: si può determinare un numero reale (detto maggiorante di F) tale che

∀ ∈

x ≤ α x F 2

, se appartiene all’insieme è detto anche massimo – vi è un estremo superiore

(sup ) di E tale che il suo numero reale M:

E ∀ ∈

x E

≤ 3

x M , con

∀ ∃ ∈ −ε)

ε>0 x E x>(M

tale che ;

β

 Inferiormente limitato: si può determinare un numero reale (detto minorante di F) tale che

∀ ∈

x ≥ β x F 4

, se appartiene all’insieme è detto anche minimo – vi è un estremo inferiore di E

tale che il suo numero reale L:

∀ ∈

x E

≥ 5

x L , con

∀ ∃ ∈

>0 )

ε x E x<(L+ε

tale che ;

 6

Limitato : se è contenuto da un intervallo limitato – F è limitato se il numero reale k è tale che

| | ∀ ∈

x ≤k x F .

Un insieme numerico finito è sempre contenuto in un intervallo limitato. Tuttavia, vi sono anche altri insiemi:

∀ ∃ ∈

m∈ R x F

 Illimitati superiormente: se vi è un numero reale m rispetto cui F è maggiore, cioè tale

che x > m; ∀ ∃ ∈

m∈ R x F

 Illimitati inferiormente: vi è un numero reale m a cui F è inferiore, cioè tale che x < m;

 Illimitati: l’insieme è limitato sia superiormente che inferiormente.

7

Prendendo, ora, in esame la funzione y = f(x) , come mostrata nel grafico: 8

x = 3

Per meglio capire la funzione, consideriamo il seguente esempio, con l’obiettivo di studiarla vicino al punto :

0

2 −6

2 x x { }

( ) D=R− 3

=

y=f x , .

x−3

Poiché f(x) non è definita in 3, non è possibile considerare f(3). È necessario, quindi, studiare la funzione quando si

tabella

approssima a quel dato valore, di conseguenza diamo ad x un tot. valori che si avvicina a 3 .

2 Se non è vuoto, oltre alle altre caratteristiche, esiste ed è sempre unico.

3 M è un maggiorante di E.

4 Se non è vuoto, oltre alle altre caratteristiche, esiste ed è sempre unico.

5 L è un minorante di E.

6 Un intervallo limitato non è un insieme finito, in quanto non è costituito da un numero finito di elementi.

7 Definita nell’insieme D e studiandola nel caso in cui i suoi valori tendano ad x – dal grafico si vede che la funzione,

0 ∉

x D

avvicinandosi ad x , f(x) si avvicina anche ad l (che non coincide con f(x ) poiché .

0 0 0

8 Poiché i punti devono essere quanto più possibile vicini ad x l’ideale sarebbe che la funzione sia definita in questi punti: x deve

0 0

punto d’accumulazione

essere un per D. 2

Pero Claudia A.S. 2017/2018

I Limiti: analisi della funzione matematica

x 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1

→ ←

3

f(x) 5,8 5,98 5,998 6,002 6,02 6,2

→ ←

?

Poiché all’avvicinarsi di x a 3, f(x) si avvicina a 6, se preso un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre minore,

allora f(x) si trova in un intorno di 6 sempre minore. Esaminato attraverso un qualunque intorno circolare, invece, di 6

≠ 3) avranno un’immagine di f(x)

ε

di ampiezza I (6), vi sarà sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x

ε contenuta nell’intorno I (6), poiché soddisfano la disequazione

ε

| | | | | |

( )−6

2 −3 (

(x−3) 2 x x x−3)

2 x

−6

2 x x

| |

( )−6 <ε −6 <

f x ε

<ε

→ → → →

< ε

x−3

x−3

x−3 | |

( ) (x−3)

2 x−6 < ε

x−3

prendendo in considerazione la condizione d’esistenza, semplifichiamo

ε ε ε

| |

| | | | < <

x−3 3− x<3+

< <

2 x−6 ε 2 x−3 ε

→ → →

2 2 2

quindi, le soluzioni della disequazione saranno i punti dell’intorno

¿ ε ε ε

Supponendo che = 1, il grafico sarà così rappresentabile:

( ) =¿ ¿

I 3 3− ; 3+

2 2 ( ) =6

lim f x

Per x che tende a 3, f(x) ha limite 6: .

x→ 3 9

Premesse ed esempio fatto, è possibile stabilire che si ha un limite finito di una funzione f(x) – con x tendente ad

| |

( )−l <

f x ε

x e, per limite, numero reale l – se si può determinare un intorno completo I di tale che , cioè

x

0 0

( )=l

lim f x . Per essere valido, la condizione f(x) deve essere definita in tutti i punti dell’intorno I( ), escluso al

x

0

x → x 0 più :

x 0

| |

( ) ( )

( )=l ( )

∀ ∃ ∀ ∈

>0 −l <ε

lim f x se ε I x : f x , x I x , x ≠ x .

0 0 0

x → x 0

x x .

10

Nel caso in cui appartenga al dominio di f e coincida anche con il limite di f(x) si dice che f è continua in

0 0

Geograficamente parlando, le funzioni continue avranno un grafico la cui curva è senza interruzioni (retta o parabola).

Per calcolare il limite è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto dato – per una funzione f(x) = 2x

lim 2 x=2∗7=14 11

continua nel punto 7: . Essa, a seconda dei suoi componenti, è classificabile in:

x→ 7 =k

lim k

1. Funzione costante: f(x) = k è continua in tutto R – ;

x → x 0

2

( )=3 −2

2. Funzione polinomiale: è continua in R (generalmente sono tutte continue,

f x x x+5

specialmente le potenze di x);

9 Che esiste solo se esistono i suoi limiti sinistro e destro e coincidono.

10 È continua nel suo dominio D, se risulta continua in ogni punto di D.

11 Vedi pag. 5 per lo svolgimento. 3

Pero Claudia A.S. 2017/2018

I Limiti: analisi della funzione matematica

{ }

∪

+¿ 0

√

3. Funzione radice quadrata: , definita in , è continua per ogni x reale positivo o nullo;

y= x ¿

R

sin x cos x

4. Funzioni goniometriche: sono continue sia che , come anche le loro derivanti;

x

5. Funzione esponenziale: , con a > 0 è continua in tutto R;

y=a

y=log x ≠ +

6. Funzione logaritmica: , con a > 0, a 1, definita in tutto R .

a

Anche i limiti necessitano di una loro classificazione: ve ne sono per eccesso o difetto, sinistri o destri:

+¿ ¿

( )=l

 12

Limite per eccesso : nel caso in cui f(x) tende a l per eccesso si ha un limite , con

lim f x

x → x 0

aggiunta condizione f(x) > l; −¿ ¿

( )=l

 13

Limite per difetto : nel caso in cui f(x) tende ad l per difetto si ha un limite , con

lim f x

x → x 0

aggiunta condizione f(x) < l;

+¿ ( ) =l

x → x f x

0

 Limite destro: nel caso in cui un limite si verifichi per ogni x appartenente all’intorno

¿

lim

¿ ¿

destro di x , cioè ;

¿ +δ ¿

x ; x

0 0 0

−¿ ( ) =l

x → x f x

0

 Limite sinistro: nel caso in cui un limite si verifichi per ogni x appartenente

¿

lim

¿ ¿

all’intorno sinistro di x , cioè .

¿ −δ ¿

x ; x

0 0 0

Se, invece, i valori della funzione crescono sempre di più, si dice che la funzione f diverge positivamente e tende a

+∞. Si ha un limite +∞ per x che tende ad x se la funzione f(x) – definita in un intervallo [a; b], ma non definita con

o

x interno allo stesso intervallo – tenderà a +∞ se per ogni numero reale positivo M è determinabile un intorno

0 completo di I di x , tale che f(x) > M:

0

( ) ( )

( )=+ ( )>

∀ ∀ ∈

>

lim f x ∞ se M 0∃ I x :f x M , x I x , x ≠ x .

0 0 0

x → x 0

Nel caso opposto, si dice che la funzione f diverge negativamente. Si ha un limite -∞ per x che tende ad x se una

0

funzione f(x) – definita in un intervallo [a; b], ma non definita con x interno allo stesso intervallo – tenderà a -∞ se per

0

ogni numero reale positivo M è determinabile un intorno completo I di x , tale che f(x) < M:

0

( ) ( )

( )=−∞ ( )

∀ ∃ ∀ ∈

>0 <

lim f x se M I x : f x M , x I x , x ≠ x .

0 0 0

x → x 0

Prendendo in considerazione sia una funzione divergente positivamente che una negativamente, è possibile dire che

( )=∞

lim f x

→

non esiste un limite, ad esempio, per x 0: .

x → x 0

Tra le applicazioni a livello grafico dei limiti, rientra la determinazione degli asintoti, in questo caso, verticali. Se

( ) =+∞

lim f x ,−∞ oppure ∞ allora si ha che x = c è un asintoto verticale che possono essere anche infiniti.

x→ c

Spostando l’ottica, su un limite finito di una funzione per x che tende a +∞, i valori di x saranno sempre maggiori,

superando un qualunque numero reale positivo c. Si ha una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a destra –

che tende al numero reale l per x tendente a +∞, quando si può determinare un intorno I di +∞ tale che

| |

( )=l ( )−l

∀ ∃c ∀

> >0 < >c

lim f x se ε 0 : f x ε , x

| |

( )−l ∈

<

f x ε per ogni x I : .

x →+∞

Con un limite finito di una funzione con x che tende a -∞, in questo caso, si ha una funzione f(x) – definita in un

intervallo illimitato a sinistra – con limite reale l per x tendente a -∞, quando si può trovare un intorno I di -∞ tale che

12 Valido anche per x → +∞, basta considerare l’intorno di +∞.

13 Valido anche per x → -∞, basta considerare l’intorno di -∞. 4

Pero Claudia A.S. 2017/2018

I Limiti: analisi della funzione matematica

| |

( )−l ∈

<

f x ε per ogni x I :

| |

( )=l ( )−l

∀ ∃ ∀

>0 <ε

lim f x se ε c>0 : f x , x← c .

x →−∞

Entrami i casi possono essere sintetizzati se si considera un intorno di ∞ determinato dalle x per le quali |x| > c, ossia

x<−c V x> c , con c numero reale casuale.

( )=q ( )=q

lim f x lim f x

Proseguendo con la determinazione degli asintoti orizzontali i oppure o, ancora,

x →+∞ x →−∞

( )=q

lim f x allora si ha che y = q, che è un asintoto orizzontale. Esso può essere destro o sinistro ed inoltre, la

x→∞ distanza di un punto P da un asintoto orizzontale tende a 0 quando x tende a +∞, -∞, ∞.

Una funzione diverge positivamente in due casi:

1. Limite +∞ di una funzione per x che tende a +∞, se in una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato

a destra – per x che tende a +∞ si può definire un intorno I di +∞ per ogni numero reale positivo M:

( )=+∞ ( )

∀ ∃c ∀

>0 >0 > >c

lim f x se M : f x M , x ;

x →+∞

2. Limite +∞ di una funzione per x che tende a -∞, se in una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato

a sinistra – per x che tende a -∞ si può definire un intorno I di -∞ per ogni numero reale positivo M:

( )=+ ( )

∀ ∀

> >0 >

lim f x ∞ se M 0∃ c :f x M , x← c .

x →−∞

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