Problemi di massimo e di minimo

Con l‘ausilio delle derivate si possono risolvere una molteplicità di problemi. Quelli che affronteremo in questa sede sono i problemi di massimo e di minimo. Per impostarli , occorre stabilire qual è la grandezza che si vuole debba essere
massima o minima e indicarla con la variabile dipendente y. La x dovrà
rappresentare una opportuna grandezza variabile del problema da scegliere di
volta in volta.

Per chiarire quanto affermato consideriamo due esempi entrambi riguardanti
problemi di geometria piana.

1) Fra i rettangoli di perimetro 2p, qual è quello di area massima?

In questo caso con y, per quanto detto precedentemente, indichiamo l’area del
rettangolo che è la grandezza da “massimizzare”, con x possiamo indicare una
delle due dimensioni del rettangolo. L’altra dimensione sarà uguale a

, cioè a

.
Se si tiene conto che l’area del rettangolo è uguale al prodotto delle due
dimensioni, possiamo scrivere:

oppure

Per determinare il massimo di questa funzione calcoliamo la derivata prima,
la poniamo uguale a zero e determiniamo il segno della derivata seconda nel punto trovato.

Considerato che la derivata seconda, nel punto in cui si annulla la derivata prima, è minore di zero, possiamo affermare che la funzione ha un massimo per

e che l’altra dimensione del rettangolo misura

Possiamo concludere constatando che un rettangolo, di perimetro noto, ha area
massima quando è un quadrato (particolare rettangolo) di lato un quarto il perimetro.

2) Fra i triangoli rettangoli aventi area uguale a S^2, qual è quello con l’ipotenusa minore?

Indichiamo con y l’ipotenusa e con x uno dei due cateti. L’altro cateto misurerà
allora

.
Applicando il teorema di Pitagora possiamo scrivere:

da cui

Calcolando la derivata prima si ha

da cui

In questo caso utilizziamo il metodo della monotonia, cioè
poniamo la derivata prima maggiore o uguale a zero,

Se teniamo conto che la radice è una quantità positiva e che il denominatore si annulla solo in zero ed è sempre positivo, dopo aver semplificato otteniamo

Scomponendo otteniamo:

Dato che il secondo fattore, somma di due quadrati, è sempre positivo, la disequazione si
riduce a:

e ha come soluzioni

Per questi valori la funzione è monotona crescente,
di conseguenza ha un minimo per

.

L’altro cateto allora misurerà

In conclusione possiamo affermare che
un triangolo rettangolo di area

ha l’ipotenusa minore quando è rettangolo isoscele, con cateti pari a

. Inoltre, l'ipotenusa misura

.

Fonte: http://sefed.altervista.org/