Rapporto incrementale e definizione di derivata

In quest'appunto troverai delle informazioni relative alla definizione di derivata e di rapporto incrementale.

Cos'è il rapporto incrementale di una funzione e come si definisce

Consideriamo la funzione

definita in un intorno

del punto

.

Se incrementiamo

di una quantità

, cioè abbiamo un incremento

o negativo tale che

in

, la funzione

assumerà in quel punto il valore

.

L'incremento della funzione viene indicato con

, e può essere positivo, negativo o nullo. Consideriamo ora il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento della variabile corrispondente:

.
Questo rapporto viene definito rapporto incrementale della funzione

relativo al punto

e all'incremento

. Rappresentiamo graficamente il concetto di rapporto incrementale.

Come calcolare praticamente il rapporto incrementale

Consideriamo, nel piano cartesiano, una curva generica

, e siano

e

i punti della curva tali che le loro ascisse siano rispettivamente

e

.

Sappiamo che il coefficiente angolare di una retta si può ottenere come il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due qualsiasi punti della curva. Quindi, considerando la retta per

e

, il suo coefficiente angolare è dato da:

.

Quindi, possiamo affermare che il rapporto incrementale è uguale al coefficiente angolare della retta secante il grafico di

nei suoi punti di ascissa

e

.

Inoltre, consideriamo la retta per

e l'angolo che essa forma con il semiasse positivo delle ascisse, che chiamiamo

.

Gli angoli

e

sono congruenti, perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele

e

con la trasversale

.

Ricordando le proprietà delle funzioni goniometriche, la tangente di tali angoli è data da:

.

Possiamo quindi concludere affermando che il rapporto incrementale è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse e dalla secante al grafico di

passante per i suoi punti di ascisse

e

.

Come definire una derivata a partire dal rapporto incrementale

Consideriamo la funzione

definita in un intorno completo di

e consideriamo il rapporto incrementale, essendo

l'incremento. Facciamo tendere a zero l'incremento

, e consideriamo quindi il limite del rapporto incrementale, quando l'incremento tende a zero:

Se tale limite esiste ed è finito, si dice che la funzione è derivabile nel punto

, e tale limite prende il nome di derivata della funzione per

.
Tale derivata si indica con

. Se, invece, tale limite non esiste, non esiste neanche la derivata.

Se il limite del rapporto incrementale è infinito, la funzione non è derivabile, e si dice che la derivata è infinita. Quindi, ricapitolando, la derivata di una funzione

in un punto

è il limite, se esiste, del rapporto incrementale, al tendere a zero dell'incremento dato alla variabile indipendente.

Per definizione, abbiamo quindi che:

Si dice, inoltre, che una funzione è derivabile in un intervallo

se è derivabile in ogni punto dell'intervallo

. In questo caso, la derivata è definita in ogni punto

in

e risulta essere anch'essa una funzione di

, che viene definita funzione derivata.

Inoltre, considerando la funzione

nel solo punto

, e in particolare in un suo intorno destro o sinistro, possiamo parlare, rispettivamente, di derivata destra o derivata sinistra, che si indicano in questo modo:

è la derivata destra

è la derivata sinistra

In particolare, una funzione è derivabile in un punto solo se esistono finite e sono uguali tra loro le derivate destra e sinistra in quel punto.

Se una funzione è definita in un intervallo chiuso

, diremo che, se esistono,

è la derivata destra mentre

è la derivata sinistra. La funzione è inoltre derivabile in tutto

se è derivabile in tutti i punti interni di

e negli estremi.

Per ulteriori approfondimenti sulla definizione di derivata vedi anche qua