Asintoti, studio di funzione e punti di non derivabilità

In questo appunto vengono approfonditi i concetti di asintoti, di punti di non derivabilità e di studio di funzione, vengono fornite definizioni ed espressioni matematiche.

Asintoti: definizione e classificazione

Data una funzione e il suo grafico nel piano cartesiano, può succedere che in un certo intervallo la funzione tende ad avvicinarsi ad una retta ma senza mai toccarla; tale retta prende il nome di asintoto.
Si dice quindi che la funzione è asintotica a tale retta.

Consideriamo ad esempio la funzione

e tracciamo il grafico in un piano cartesiano.
Osservando il grafico si può notare che tale funzione per x che tende a

Se vediamo ora l’andamento della funzione nell’intorno di zero si può notare come la funzione assume un valore sempre maggiore, più ci si avvicina allo zero, si ha però che anche per valori di x molto piccoli la funzione non interseca mai l’asse delle ordinate. Si può quindi affermare che l’asse delle ordinate è un asintoto della funzione per x che tende a zero. Dato che l’asse delle y è una retta verticale si definisce tale asintoto come asintoto verticale.

Per verificare la presenza di asintoti nella funzione è possibile osservare il grafico e analizzare l’andamento della funzione.
Non sempre è possibile avere a disposizione il grafico, a volte si ha a disposizione solo la funzione in forma analitica; in questi casi è quindi necessario valutare i seguenti limiti:

• verticali:
  se
  [math]lim_{x \to x_0} f(x)=±∞⇒ x=x_0[/math]
  è asintoto verticale;
• orizzontali:
  se
  [math]lim_{x \to ±∞} f(x)=l⇒ y=l[/math]
  è asintoto orizzontale;
• obliqui:
  
  [math]y=mx+q⇒m=lim_{x\to±∞} {f(x)}{x} ,[/math]
  [math]q=lim_{x→±∞} (f(x)-mx)[/math]
  .

  N.B. gli asintoti obliqui vanno ricercati solamente se non vi sono asintoti orizzontali.

Un asintoto è obliquo quando si ha che la funzione, per x che tende a

tende ad avvicinarsi sempre di più a una retta obliqua, tale retta prende il nome di asintoto obliquo.
Per ulteriori approfondimenti sulla funzione e sulle sue proprietà vedi anche qua

Studio di funzione

La verifica della presenza degli asintoti in una funzione è uno dei passaggi che è utile fare durante lo studio di una funzione; lo studio di una funzione viene utilizzato principalmente per verificare l’andamento della funzione e per tracciarne il grafico nel piano cartesiano.

Lo studio di funzione di basa sui seguenti passaggi:

• Dominio: insieme dei valori delle ascisse per cui la funzione esiste;
• Segno: lo studio del segno serve per comprendere quando la funzione assume dei valori positivi o negativi, per fare ciò è necessario studiare il segno della funzione. Ricordiamo che per studiare il segno della funzione è necessario porre: f(x)>0 e verificare per quali valori delle x tale disequazione è soddisfatta;
• Zeri: punti in cui la funzione interseca l’asse delle x, si pone quindi y=0 e si verifica quali valori della variabile x soddisfano la seguente equazione;
• Simmetrie: esistono due principali tipi di simmetrie: una funzione si definisce pari quando f(-x)=f(x), in tal caso la funzione è simmetrica rispetto all’asse delle y, una funzione si definisce dispari quando f(-x)=-f(x), in questo caso la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi;
• Limiti: in genere si calcolano i limiti per x che tende a
  [math]\pm \infty[/math]
  e nell’intorno dei punti estremi del dominio;
• Punti di non derivabilità: punti in cui non è definita la derivata prima della funzione;
• Derivata prima: si studia l’andamento quindi il segno della derivata prima della funzione;
• Punti stazionari;
  f’(x)>0.
  f'(x_0)=lim_{h \to 0} ((f(x_0+h)-\frac{f(x_0))}{h}=m(x_0)=tgα

Punti di non derivabilità

, un punto in cui tali due limiti non coincidono prende il nome di punto di non derivabilità.

A seconda del valore della derivata prima in quel punto possiamo avere diversi casi, riportiamo in seguito i diversi tipi di punti di non derivabilità:

• punto angoloso: derivata destra≠derivate sinistra e almeno una delle due finita;
• cuspide: derivata destra=+∞, derivata sinistra=-∞ o viceversa;
• flesso a tangente verticale: derivata destra=+∞, derivata sinistra=+∞ o derivata destra=-∞, derivata sinistra=-∞.

Per lo più se una funzione è continua può essere derivabile, se non è continua non è derivabile e se derivabile è continua.

Quindi una funzione non è derivabile dove non è continua e nei punti di non derivabilità che vanno cercati dove la funzione è continua.
Se perciò viene chiesto se una funzione è derivabile in un punto è necessario accertarsi che la funzione sia continua in quel punto e calcolare la derivata destra e sinistra.

Per verificare se la funzione presenta dei punti di non derivabilità è necessario calcolare la derivata prima della funzione, richiamiamo quindi le derivate delle funzioni principali.

Per ulteriori approfondimenti sulle derivate delle funzioni fondamentali vedi anche qua