Che cos'è una funzione matematica e come si classificano

In quest'appunto troverai tutte le informazioni riguardanti il concetto di funzione e come classificare e studiare queste ultime.

Qual è la definizione di funzione matematica e a cosa serve

A cosa serve e cos'è una funzione matematica? Prima di parlare di funzione matematica, bisogna dire che: dati due insiemi di numeri reali,

e

, rispettivamente insieme di partenza e insieme di arrivo, una funzione è una legge che lega ad ogni elemento di

fa corrispondere uno e un solo elemento di

.

Il concetto di funzione non è così complesso.

Possiamo fare un esempio, anche considerando la realtà: un uomo sposato con una donna, può esprimere il concetto di funzione. A un uomo corrisponde una e una sola donna, ma anche a una donna corrisponde uno e un solo uomo. Ora la relazione che intercorre tra l'insieme

e l'insieme

si chiama corrispondenza biunivoca.

L'insieme delle

contiene tutte le

della funzione. Tale

è chiamato dominio della funzione.
Inoltre, non dimentichiamo che

è la variabile indipendente. L'insieme

, invece, è chiamato codominio della funzione e contiene l'insieme delle

della funzione. Tale

è chiamata variabile dipendente, cioè dipende dalla

. Il modo per esprimere, attraverso i simboli matematici, il concetto di funzione è:

e si legge

uguale a

di

(che letteralmente significa che la

è in funzione della

. Essere in funzione di qualcosa significa, appunto, che dipende dalla

).

Come si classificano le funzioni matematiche

Esistono diverse tipologie di funzioni matematiche: conoscere bene le proprietà di ognuna di esse aiuta a risolvere più velocemente e in maniera corretta lo studio di funzione. Esse si possono distinguere in funzioni algebriche (come ad esempio le funzioni razionali e irrazionali intere e fratte) e in funzioni trascendenti (ossia le funzioni trigonometriche, le funzioni logaritmiche e logaritmiche). In particolare:

• le funzioni razionali sono quelle calcolabili attraverso i polinomi. Le funzioni razionali intere necessitano di un solo polinomio, mentre le razionali fratte coinvolgono due polinomi e in particolare il rapporto tra questi ultimi
• le funzioni irrazionali sono, invece, le funzioni in cui la variabile
  [math]x[/math]
  è presente sotto radice
• le funzioni trigonometriche si basano sugli angoli e sono utili nell'analisi dei triangoli
• le funzioni logaritmiche non sono altro che logaritmi aventi l'incognita come argomento
• le funzioni esponenziali seguono lo stesso approccio delle funzioni logaritmiche. Stavolta, però, l'incognita è presente all'esponente dell'esponenziale

Come si svolge correttamente uno studio di funzione

Lo studio di funzione consiste nell'eseguire degli step analitici al fine di realizzare un grafico rappresentante l'evoluzione della funzione rispetto a

e a

. Questo procedimento può essere effettuato allo stesso modo su tutte le funzioni matematiche, sebbene i risultati siano chiaramente diversi.

Gli step da compiere in ordine sono:

• definizione del dominio. Questo passaggio permette di capire tutti i valori che - attribuiti a
  [math]x[/math]
  - permettano alla funzione di avere senso
• analisi della parità o della disparità: tale step serve per capire la simmetria della funzione rispetto agli assi. Una funzione pari presenta grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, mentre le funzioni dispari lo hanno rispetto all'asse delle ascisse
• definizione delle intersezioni con gli assi, effettuata per avere qualche informazione in più sui punti appartenenti al grafico
• analisi del segno della funzione, che permette di capire in che quadranti si trova la funzione a determinati valori di
  [math]x[/math]
  e
  [math]y[/math]
• calcolo dei limiti alle estremità dell'intervallo di definizione, il quale consente di valutare il comportamento della funzione nei valori estremi del dominio
• calcolo della derivata prima, ultimato per definire eventuali punti di minimo o di massimo
• calcolo della derivata seconda, realizzato al fine di studiare la convessità della funzione (cioè se la funzione assume una forma a U oppure a U rovesciata)
• disegno del grafico della funzione, a partire dalle informazioni precedentemente ottenute

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni matematiche vedi anche qui