Classificazione di funzioni e Studio di funzione

In questo appunto viene presentata una guida per affrontare lo studio di funzione step by step affrontando tutti i diversi passaggi che si devono eseguire per studiare e disegnare il grafico di una funzione in maniera corretta.

Funzione

Una relazione tra due insiemi A e B è una funzione se ogni elemento di A è associato a uno e un solo element di B.

Per questo motivo una funzione si chiama anche corrispondenza unica. Una lettera minuscola (spesso la lettera ) si usa per indicare una funzione:

Si legge questa formulazione matematica come y uguale a f di x e la successiva come funzione f che va dall'insieme A all'insieme B. Diciamo che A è l'insieme iniziale della funzione e B l'insieme finale.
L'insieme di partenza A è chiamato il dominio della funzione; il sottoinsieme di B è formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. y è l'immagine (o codominio) di utilizzando. Se l'espressione

contiene solo operazioni di addizione, sottrazione moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza o estrazione di una radice, la funzione è algebrica.

Tipologia di funzioni

Una funzione algebrica in forma esplicita può essere di diverse tipologie. Qui di seguito un breve elenco di tipologie di funzioni:

• Una funzione razionale intera (o polinomiale) se è espressa da un polinomio;
• Una funzione lineare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x;
• Una funzione quadratica se il polinomio in x è di secondo grado;
• Una funzione razionale fratta se è espressa per mezzo di quozienti di polinomi;
• Una funzione irrazionale se la variabile indipendente appare sotto il segno di una radice;
• Una funzione logaritmica se la variabile indipendente appare come argomento di logaritmo;
• Una funzione goniometrica se la variabile indipendente appare come argomento di funzione trigonometrica (seno, coseno, tangente...);
• Una funzione esponenziale se la variabile indipendente appare come esponente di un esponente (base qualunque o base neperiana).

Studio di funzione

Lo studio di una funzione ha come obiettivo finale quello di andare a tracciare il grafico sul piano cartesiano della funzione stessa. Come si traccia un grafico di una funzione?
Ci sono diversi step che si devono necessariamente seguire per andare a tracciare il grafico della funzione. Gli step sono i seguenti riportati di seguito:

• Ricerca del dominio della funzione
• Ricerca dei punti di intersezione con gli assi cartesiani x e y del piano cartesiano della funzione
• Studio della positività della funzione
• Calcolo dei limiti della funzione
• Calcolo delle derivate della funzione e ricerca dei punti di massimo e di minimo

Dominio

Ricerca del dominio di una funzione si effettua andando a individuare il campo dell'esistenza in cui la funzione è definita. Se si ha una funzione polinomiale il campo di esistenza è tutto l'insieme dei reali. Se la funzione è una funzione fratta il campo di esistenza da ricercare deve prevedere che il denominatore sia diverso da zero. Se la funzione è un'esponenziale il campo di esistenza è tutto l'insieme dei reali. Se la funzione è un logaritmo il campo di esistenza da andare a definire deve prevedere che l'argomento della funzione logaritmica sia sempre maggiore di zero. Se la funzione è irrazionale con indice della radice positiva il campo di esistenza da ricercare deve prevedere che tutto quello che è sotto la radice deve essere posto maggiore o uguale a zero; invece se l'indice della radice è dispari allora il campo di esistenza è tutto l'insieme dei reali.

Intersezione degli assi

La ricerca per l'intersezione degli assi consiste nell'andare a imporre prima

e poi

i risultati saranno corrispondenti ai punti di intersezione con gli assi.

Positività

LA ricerca della positività della funzione prevede di andare ad imporre che

, facendo così sarà possibile andare a individuare dove la funzione risulta essere positiva e dove risulta essere negativa.

Limiti di una funzione

Il calcolo dei limiti di una funzione prevede di andare a studiare la funzione in quei punti di ambiguità in cui ad esempio il comportamento della funzione non si conosce come all'infinito agli estremi di definizione della funzione o in cui si ha una discontinuità della funzione.

Calcolo delle derivate e ricerca dei punti di massimo e di minimo

Affinché una funzione sia derivabile la funzione deve essere continua. Una funzione è continua se questa può essere tracciata sul foglio senza staccare la penna o interrompere il tratto di stesura. Questa è la definizione informale della continuità di una funzione. Di seguito verrà enunciata la definizione formale di continuità. Si consideri una funzione , e si voglia studiare la continuità della funzione. La funzione è definita continua in un punto se il limite della funzione per tendente al punto considerato è uguale al valore che la funzione assume ne punto stesso.
Una funzione affinché sia derivabile deve risultare continua, per come è stato definito precedentemente. Esiste però un ulteriore vincolo affinché una funzione sia derivabile, ovvero che la derivata destra e la derivata sinistra debbano esistere ed essere uguali nel punto considerato. Se così non fosse la funzione non è derivabile.
Il calcolo delle derivate è utile per andare a studiare gli intervalli di crescenza e di decrescenza della funzione. Una volta calcolata la derivata prima si deve andare a porre maggiore o uguale a zero e risolvere la disequazione.
Se una funzione è sempre crescente non avremo dei punti di massimo o di minimo, lo stesso vale per le funzioni decrescenti.
In presenza di alternanza tra crescenza e decrescenza o viceversa si avranno dei punti di massimo o di minimo.
Si può ulteriormente effettuare una nuova ricerca di punti particolari relativamente ai punti di sella. Questi vengono individuati andando a calcolare la derivata seconda e ponendola maggiore e uguale a zero.

Grafico della funzione

Alla fine della raccolta di tutte queste informazioni sarà possibile andare a disegnare il grafico che è stato costruito passo per passo. Dapprima devono essere tagliate le parti in cui la funzione non è definita per il dominio, successivamente si individuano i punti di intersezione con gli assi, si procede poi a segnare dove la funzione risulta essere positiva e dove negativa, si osservano poi i comportamenti della funzione nei punti di ambiguità e si tracciano gli eventuali asintoti o comportamenti all'infinito individuati, infine si individuano nel grafico i punti di massimo e di minimo e di sella trovati, e dove la funzione cresce o decresce.

Teorema di Weierstrass

Affinchè una funzione presenti dei punti di massimo o di minimo deve rispettare il teorema di Weierstrass. Il cui enunciato ed esempio numerico si trova nel pdf qui di seguito.

Per ulteriori approfondimenti sulla derivata, vedi qui