Esempi di studio di funzione

Funzione razionale intera

1. Per prima cosa, notiamo che la funzione, come tutte le funzioni razionali intere, è definita in tutto l'asse reale, quindi il suo dominio coincide con
   [math]\mathbb{R}[/math]
   ;
2. Cerchiamo di capire se la funzione presenta simmetrie. Poiché si ha:
   [math] f(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 - 3 = -x^3 +2x^2 - 3 [/math]
   possiamo concludere che la funzione non presenta simmetrie, e quindi, non è né pari né dispari;
3. Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani, e risolviamo i seguenti sistemi:
   [math] \begin{cases} y=x^3+2x^2-3 \\ y=0 \end{cases} ; \begin{cases}y=x^3+2x^2-3 \\ x=0 \end{cases} [/math]
   dai quali abbiamo i punti di intersezione
   [math](0;-3)[/math]
   e
   [math](1;0)[/math]
   ;
4. Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione:
   [math] x^3 + 2x^2 -3 \gt 0 [/math]
   La disequazione è verificata per
   [math]x \gt 1[/math]
   , quindi possiamo affermare che in questo intervallo si ha
   [math]f(x) \gt 0[/math]
   ; al contrario, per
   [math] x \lt 1[/math]
   , si ha
   [math] f(x) \lt 0 [/math]
   ;
5. Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per x che tende a più o meno infinito:
   [math] \lim_{x \rightarrow +\infty} (x^3+2x^2-3) = +\infty [/math]
   [math] \lim_{x \rightarrow -\infty} (x^3+2x^2-3) = -\infty [/math]
   La funzione, quindi, non ammette asintoti orizzontali, in quanto entrambi i limiti precedenti sono infiniti. Inoltre, poiché la funzione è definita in tutto
   [math]\mathbb{R}[/math]
   , non può avere asintoti verticali. Possiamo, però, ricercare gli asintoti obliqui; studiamo, quindi, il seguente limite per determinare l'eventuale coefficiente angolare dell'asintoto:
   [math] m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3+2x^2-3}{x} = +\infty [/math]
   Dato che il limite precedente è infinito, la funzione non ha neanche asintoti obliqui;
6. Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari:
   [math] f'(x) = 3x^2+4x [/math]
   Risolviamo quindi la seguente equazione:
   [math] f'(x) = 0 \rightarrow 3x^2 + 4x = 0 [/math]
   Dalle soluzioni della disequazione, possiamo determinare due punti stazionari, che hanno ascisse:
   [math]x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{3} [/math]
   Studiando il segno della derivata prima, troviamo i seguenti intervalli, nei quali la funzione è crescente:
   [math] x \lt -\frac{4}{3} \vee x \gt 0 [/math]
7. Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso:
   [math] f''(x) = 6x+4 [/math]
   Risolviamo la seguente equazione:
   [math] f''(x) = 0 \rightarrow 6x+4=0 [/math]
   Da cui otteniamo il punto di ascissa (-2/3). Studiando il segno della derivata seconda, troviamo che per
   [math]x \gt -2/3[/math]
   , la funzione volge la concavità verso l'alto, e che quindi, per
   [math]x \lt -2/3[/math]
   , la funzione volge concavità verso il basso.

Funzione esponenziale

1. La funzione esponenziale è definita per ogni valore di
   [math]x[/math]
   ; tuttavia, in questo caso l'esponente di
   [math]e[/math]
   è una frazione, definita per
   [math]x \ne 0[/math]
   . Il dominio della funzione è, quindi,
   [math]\mathbb{R} - {0}[/math]
   ;
2. La funzione non presenta simmetrie. Infatti, abbiamo:
   [math] f(-x) = e^{\frac{-x-1}{-x}} = e^{\frac{x+1}{x}} [/math]
   la funzione, quindi, non è né pari né dispari;
3. Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani; sapendo che la funzione non è definita in zero, possiamo cercare solo le intersezioni con l'asse
   [math]x[/math]
   :
   [math] \begin{cases} y=e^{\frac{x-1}{x}} \\ y = 0 \end{cases} [/math]
   Poiché la funzione esponenziale non si annulla mai, concludiamo che non vi sono intersezioni con gli assi;
4. Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione:
   [math] e^{\frac{x-1}{x}} \gt 0 [/math]
   La disequazione è sempre verificata, quindi la funzione si trova sempre al di sopra dell'asse
   [math]x[/math]
   .
5. Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per
   [math]x[/math]
   che tende a più o meno infinito:
   [math] \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x-1}{x}} = e [/math]
   Poiché il limite esiste ed è finito, possiamo affermare che la retta
   [math]y = e[/math]
   è asintoto orizzontale per la funzione
   [math]f(x)[/math]
   . Dato che la funzione non è definita in
   [math]x = 0[/math]
   , è lecito ricercare l'asintoto verticale. Calcoliamo, quindi, il limite per
   [math]x[/math]
   che tende a zero:
   [math]\lim_{x\rightarrow 0^{+}} e^{\frac{x-1}{x}} = 0 \mbox{ , } \lim_{x\rightarrow 0^{-}} e^{\frac{x-1}{x}} = +\infty [/math]
   Possiamo concludere che la funzione ha
   [math]x = 0[/math]
   come asintoto verticale sinistro;
6. Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari:
   [math] f'(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} [/math]
   . Risolviamo quindi la seguente equazione:
   [math] f'(x) \gt 0 \rightarrow e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \gt 0 [/math]
   La disequazione è verificate per ogni
   [math]x[/math]
   del dominio, quindi la funzione è crescente in tutto il dominio;
7. Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso:
   [math] f''(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} + e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{-2x}{x^4} = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot (1-2x) [/math]
   Risolviamo la seguente equazione:
   [math] f''(x) = 0 [/math]
   Da cui otteniamo il punto di ascissa (1/2), che è un punto di flesso per la funzione.

Possiamo ora tracciare il grafico della funzione:

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