la regola di Ruffini

La regola di Ruffini

La regola di Ruffini prende il nome dal matematico italiano che l'ha introdotta e consente di scomporre i polinomi di qualunque grado, anche quando i prodotti notevoli falliscono.

In altre parole, la regola di Ruffini ci salva quando proprio non sappiamo come semplificare il nostro polinomio perché, con un semplice conto meccanico, ci consente di trovare sempre una scomposizione del tipo:

P(x)=(x+a)Q(x),
[math][/math]

dove [math]P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0[/math]

è il generico polinomio di grado
[math]n [/math]
che voglio scomporre e
[math]Q(x)=a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0[/math]
un polinomio di grado
[math]n-1[/math]
che, moltiplicato per un polinomio di primo grado del tipo
[math](x+a)[/math]
, ci da
[math]P(x)[/math]
.


Ma come troviamo il termine noto a? E il polinomio Q(x)?

Il termine a deve essere una radice del polinomio P(x), ossia un numero tale che, inserito al posto della x nel nostro polinomio, mi da come risultato 0. Per trovare questo numero ci viene in soccorso un teorema dell'algebra, che ci garantisce che le radici di

[math]P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0[/math]
sono tutte e sole della forma
[math]\frac{p}{q}[/math]
, dove p è un divisore di
[math]a_0[/math]
(termine noto) e q è divisore di
[math]a_n[/math]
(coefficiente del termine di grado massimo).

ad esempio, se voglio scomporre il polinomio

[math]P(x)=3 x^3+ 7 x^2 - 2 x-8 [/math]

dovrò cercare la radice nell'insieme composto dai termini del tipo

[math]\frac{p}{q}[/math]
, dove p è un divisore di 8 (termine noto) e q è divisore di 3. In particolare, poiché 8 è divisibile per
[math]\pm 1, \pm 2, \pm4[/math]
e 3 solo da
[math]\pm 1, \pm 3[/math]
tale insieme sarà composto dai numeri:


[math] \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 1/3, \pm 2/3 \pm 4/3
[/math]


Iniziamo quindi da +1, lo sostituiamo alla x e calcoliamo:

[math]P(1)=3+7-2-8=0[/math]
,
quindi ho trovato la radice che cercavo. A questo punto devo trovare Q(x). Per farlo considero i coefficienti del polinomio P(x) e li inserisco nel seguente schema in ordine, da quello di grado più grande a quello di grado più piccolo, in questo modo:



Questi numeri che abbiamo ottenuto saranno i coefficienti del polinomio Q(x), che possiamo scrivere:

[math]Q(x)=3x^2+10x+8[/math]

A questo punto basta scrivere P(x)=(x-radice)Q(x), cioè:
[math]3 x^3+ 7 x^2 - 2 x-8 =(x-1)(3x^2+10x+8)[/math]


Possiamo poi continuare ad usare lo stesso metodo per scomporre il polinomio Q(x) così via, ottenendo:

[math]3 x^3+ 7 x^2 - 2 x-8 =(x-1)(x+2)(3x+4)[/math]


NOTA: se il polinomio che devo dividere non è completo, ossia manca di un termine di grado intermedio, tipo

[math]x^2+1[/math]
in cui manca il termine di primo grado, all'interno dello schema, dobbiamo mettere 0 nella posizione corrispondente al termine di primo grado e poi procedere come visto.

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