Regola di Ruffini per la scomposizione di polinomi

In questo appunto è descritta la Regola di Ruffini utile per effettuare le scomposizioni dei polinomi di qualsiasi grado. Quando non riusciamo a semplificare un polinomio, possimo affidarci a tale regola, per finalizzare il processo, effettuando calcoli matematici semplici. Nel testo sono proposti esempi pratici di tale regola che permettono di comprendere tutti i passaggi necessari per arrivare ad un risultato finale soddisfacente.

La regola di Ruffini

La regola di Ruffini prende il nome dal matematico italiano che l'ha introdotta nel 1809 e consente di scomporre i polinomi di qualunque grado, anche quando i prodotti notevoli falliscono.

In altre parole, la regola di Ruffini ci salva quando proprio non sappiamo come semplificare il nostro polinomio perché, con un semplice conto meccanico, ci consente di trovare sempre una scomposizione del tipo:

dove

è il generico polinomio di grado che voglio scomporre e un polinomio di grado che, moltiplicato per un polinomio di primo grado del tipo , ci da .

Per ulteriori approfondimenti sull Regola di Ruffini vedi anche qua

Calcolo del termine noto "a"

Le questione che andiamo a porre nel seguente paragrafo è: come troviamo il termine noto a?

Il termine a deve essere una radice del polinomio P(x), ossia un numero tale che, inserito al posto della x nel nostro polinomio, ci dia come risultato 0. Per trovare questo numero ci viene in soccorso un teorema dell'algebra, che ci garantisce che le radici di

sono tutte e sole della forma , dove p è un divisore di (termine noto) e q è divisore di (coefficiente del termine di grado massimo).

Proviamo a proporre un esempio pratico per mettere in atto ciò che abbiamo appena detto applicando la teoria alla scomposizione del seguente polinomio:

Iniziamo quindi a cercare la radice nell'insieme composto dai termini del tipo

, dove p è un divisore di 8 (termine noto) e q è divisore di 3. In particolare, poiché 8 è divisibile per e 3 solo da tale insieme sarà composto dai numeri:

Iniziamo quindi da +1, lo sostituiamo alla x e calcoliamo:

A questo punto possiamo affermare di aver trovato la radice che cercavamo.

Calcolo del polinomio Q(x)

Ora bisogna calcolare Q(x). Per farlo considero i coefficienti del polinomio P(x) e li inserisco nel seguente schema in ordine, da quello di grado più grande a quello di grado più piccolo, in questo modo:

In sintesi possiamo quindi affermare che il procedimento per il calcolo del polinomio Q(x) prevede i seguenti passaggi:

1. Inseriamo all'interno della tabella (in alto) i coefficienti del polinomio, e la radice (in basso a sinistra). Ricorda di inserire l'ultimo coefficiente (termine noto) a destra della linea verticale (vedi prima immagine)
2. Dopo aver abbassato il coefficiente di grado massimo, averlo cioè portato sotto la seconda linea orizzontale della tabella, moltiplica tale coefficiente per la radice e scrivi il risultato sotto al coefficiente successivo (nel nostro caso sotto il numero +7)
3. Esegui la somma di questi due numeri in colonna e scrivi il risultato di fianco al 3, al di sotto della seconda riga orizzontale
4. Ripeti il procedimento anche per gli altri coefficienti, nell'ultimo caso la somma dei due numeri in colonna deve dare come risultato 0

Questi numeri che abbiamo ottenuto saranno i coefficienti del polinomio Q(x), che possiamo scrivere:

A questo punto basta scrivere P(x)=(x-radice)Q(x), cioè:

Possiamo poi continuare ad usare lo stesso metodo per scomporre il polinomio Q(x) così via, ottenendo:

Ricorda: se il polinomio che devo dividere non è completo, ossia manca di un termine di grado intermedio, tipo

in cui manca il termine di primo grado, all'interno dello schema, dobbiamo mettere 0 nella posizione corrispondente al termine di primo grado e poi procedere come visto.

Per ulteriori approfondimenti sulla divisione con il metodo di Ruffini vedi anche qui