Logaritmi: definizione, regole principali e proprietà

In questo appunto approfondiremo il concetto di logaritmo. In particolare tratteremo la definizione di logaritmo, spiegando anche i vari casi particolari che possiamo avere. Verranno trattate le proprietà e le regole principali e verranno anche svolti degli esempi brevi e semplici su come risolvere gli esercizi con i logaritmi. Daremo anche una breve spiegazione di funzione logaritmica.

Che cos’è il logaritmo?

Il logaritmo è un operatore matematico, la sua definizione rigorosa è la seguente: il logaritmo in base

,

reali, con

, in formule si ha:

Quindi, in altre parole, il logaritmo è l’inverso della potenza, in formule:

Il numero

si chiama base del logaritmo; mentre, il numero

si chiama argomento del logaritmo.
E

è il risultato del logaritmo.

Tipologie di logaritmi principali

Possiamo avere due tipologie principali di logaritmi, la differenza principale tra i due logaritmi è la base.

• Il logaritmo in base dieci
  [math]log_{10}[/math]
  , si chiama logaritmo decimale. Solitamente si indica con
  [math]log[/math]
  ;
  
• Il logaritmo in base
  [math]e[/math]
  , dove
  [math]e[/math]
  è il numero di Neplero che vale
  [math]e=2,7182818284..[/math]
  , si chiama logaritmo naturale
  [math]log_e[/math]
  . Solitamente si indica con
  [math]ln[/math]
  .
  

Che cos’è la funzione logaritmica?

La funzione logaritmica è una funzione con almeno un’incognita nell’argomento del logaritmo:

La sua base deve essere maggiore di

e diversa da

, ed è definita nell’insieme dei numeri positivi.
Quindi il suo dominio farà parte dell’insieme dei numeri reali positivi.
E il suo codominio sarà invece l’insieme dei numeri reali.
La funzione inversa della funzione logaritmo è la funzione esponenziale.
Per ulteriori approfondimenti sulla funzione esponenziale vedi qua.

Proprietà principali dei logaritmi

Se la funzione logaritmo ha base

allora possiede le seguenti proprietà:

• Il dominio è
  [math]{x\in \mathbb{R}: x>0}[/math]
  ;
  
• è invertibile;
  
• è crescente.
  

Se la funzione logaritmo ha base

allora possiede le seguenti proprietà:

• Il dominio è
  [math]{x\in \mathbb{R}: x>0}[/math]
  ;
  
• è invertibile;
  
• è decrescente;
  

Regole principali dei logaritmi

Le principali regole riportate di seguito sono valide per qualsiasi base scelta per il logaritmo, purchè

e

.
Le regole principali sono:

1. [math]log_a (xy)= log_a x + log_a y[/math]
2. [math]log_a \frac{x}{y} = log_a x – log_a y[/math]
3. [math]log_a x^y = ylog_a x[/math]
4. [math]log_a x = \frac{log_b x}{log_b a}[/math]
   : questa proprietà è detta cambiamento di base
5. [math]log_a x =-log_{\frac{1}{a}} x[/math]
6. [math]log_a \frac{b_1}{b_2} = -log_a \frac{b_2}{b_1}[/math]
7. [math]log_a \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} log_a b[/math]
8. [math]log_a \frac{1}{b} = - log_a b[/math]

Qualsiasi sia la base del logaritmo, se l'argomento è uguale ad

Se la base e l'argomento del logaritmo sono uguali, il logaritmo vale sempre

Prestiamo particolare attenzione alla proprietà del cambiamento di base.
Essa è utile per togliere dai nostri calcoli una base che ci resta scomoda per la risoluzione dell’esercizio.
Come funziona ? Riscriviamo il logaritmo che ci ostacola come rapporto, il numeratore ha la nuova base e lo stesso argomento e il denominatore è un logaritmo che ha per base la nuova base e per argomento la base precedente.

Per fare un esempio semplice di applicazione della regola, se partiamo da

alla fine scriveremo

.

Con i logaritmi è possibile anche svolgere esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni e disequazioni logaritmiche vedi qua

Esercizi applicati sui logaritmi

Di seguito alcuni semplici esercizi sui logaritmi per capire la loro applicazione:

• Esempio 1:
  
  [math]log_3 x = 2 [/math]
  [math]x =9[/math]

• Esempio 2:
  
  [math]log (x+2) =0[/math]
  [math]x =-1[/math]

• Esempio 3:
  
  [math]log_4 (2x-1) =log_4 x [/math]
  [math]x=1 [/math]

• Esempio 4:
  
  [math]ln x = 2 ln 2x [/math]
  [math]x=\frac {1}{4}[/math]

• Esempio 5:
  
  [math]log_3 x =1[/math]
  [math]x = 3[/math]

• Esempio 6:
  
  [math]ln 2x = 0[/math]
  [math]x =0[/math]

• Esempio 7:
  
  [math]log_3 2 + log_3 x = log_3 \frac{1}{2} + log_3 \frac{1}{x}[/math]
  [math]x=\frac{1}{2}[/math]

• Esempio 8:
  
  [math]log_{\frac{3}{2}} \frac{x-2}{3} = -2[/math]
  [math]x = \frac{10}{3}[/math]

• Esempio 9:
  
  [math]log_{x –2} 9 = 2[/math]
  [math]x= 5[/math]

• Esempio 10:
  
  [math]log_3 (3 x + 1) – log_3 x = 2[/math]
  [math]x = \frac{1}{6}[/math]

• Esempio 11:
  
  [math]log_5 x – log_{25} x = 1[/math]
  [math]x = 25[/math]

• Esempio 12:
  
  [math]ln (x – 2) – ln 3 = ln(5 – x) – ln 2[/math]
  [math]x = \frac{19}{5}[/math]