Definizione di logaritmo: regole e formule

Appunto di matematica riguardante il concetto di logaritmo. Definizione, logaritmo naturale, logaritmo in base 10 ed alcuni esempi di calcolo di logaritmi.

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In questo appunto approfondiremo il concetto di logaritmo. Ne riprenderemo la definizione, vedremo alcuni importanti logaritmi, come quello naturale, che ha per base il numero di Nepero, e quello decimale, cioè in base 10. Inoltre, dopo aver dato un'occhiata ai grafici della funzione logaritmica, ci concentreremo su alcuni esempi di calcolo. Definizione di logaritmo: regole e formule articolo

Indice

  1. Definizione generale di logaritmo
  2. Definizione di logaritmo naturale o neperiano
  3. Definizione di logaritmo decimale o di Briggs
  4. Osservazioni
  5. Esempi elementari di calcolo di logaritmi

Definizione generale di logaritmo

Dati due numeri reali
[math]a>0[/math]
e
[math]b>0[/math]
,
[math]b \ne 1[/math]
si definisce logaritmo di base
[math]b[/math]
e argomento
[math]a[/math]
l'esponente da attribuire alla base
[math]b[/math]
per ottenere una potenza uguale all'argomento
[math]a[/math]
.

Ciò si scrive nella forma:

[math] x = \log_b a \Leftrightarrow b^x=a [/math]

Per esempio, proviamo a calcolare:

[math] \log_3 9 [/math]

.

Dobbiamo, cioè trovare il logaritmo in base 3 del numero 9. Per fare ciò dobbiamo porci la domanda: quale esponente devo assegnare alla base 3 per avere come risultato il numero 9.

Cioè, quale numero va messo al posto del punto interrogativo in:

[math] 3^? = 9 [/math]

Basta conoscere un po' di aritmetica di base per sapere che il numero cercato è 2.

Per cui possiamo scrivere che:

[math] \log_3 9 = 2[/math]

Oppure, possiamo chiederci, quanto vale

[math] \log_2 \frac{1}{8} [/math]

. Dobbiamo cioè risolvere:

[math] 2^? = \frac{1}{8} [/math]

Qui il discorso si complica un po' ma, ricordando che

[math] a^{-n} = \frac{1}{a^n} [/math]

concludiamo che l'esponente cercato è

[math] -3 [/math]

.

E dunque:

[math] \log_2 \frac{1}{8} = -3 [/math]

.

Ricorda anche due cose molto importanti.

Qualsiasi sia la base del logaritmo, se l'argomento è uguale ad 1, il valore del logaritmo sarà sempre zero. Infatti, qualsiasi numero elevato alla potenza 1 restituisce zero.

[math] \log_a 1 = 0[/math]

Se la base e l'argomento del logaritmo sono uguali, il risultato del logaritmo è sempre 1.

[math] \log_a a = 1 [/math]

Definizione di logaritmo naturale o neperiano

Alcuni logaritmi sono più utilizzati di altri, per cui acquistano dei nomi particolari. Uno di questi, forse il più importante, è il logaritmo che ha per base il numero
[math]e[/math]
. Il numero
[math]e[/math]
(o numero di Nepero) è un numero irrazionale, che vale:
[math] e = 2,71828 \, 18284 \, 59045 \, 23536 \dots [/math]
Un logaritmo la cui base è il numero di Nepero
[math]e[/math]
è detto logaritmo naturale o neperiano.

Per esso valgono le solite considerazioni:

[math] \log_e 1 = 0 [/math]

[math] \log_e e = 1 [/math]

Definizione di logaritmo decimale o di Briggs

Un altro logaritmo che viene spesso utilizzato è il logaritmo con base 10, detto anche logaritmo decimale.

Il logaritmo decimale è molto utilizzato per via del fatto che il numero 10 è la base del nostro sistema di numerazione.

[math] \log_{10} a = b \leftrightarrow 10^b=a [/math]

Il logaritmo decimale è noto anche con il nome di logaritmo di Briggs, dall'omonimo matematico britannico e, oltre ad indicarsi con il solito simbolo

[math] \log_{10} a = b [/math]
si può spesso trovare con l'iniziale maiuscola
[math] \text{Log} a = b [/math]
.

Osservazioni

Osservazione 1: Quando si dà una nuova definizione occorre sempre controllare che essa non sia contraddittoria. Nella definizione, viene detto che il logaritmo è precisamente quell'esponente da attribuire alla base
[math]b[/math]
per ottenere il numero
[math]a[/math]
; ciò presuppone che esista uno e un sol numero con tale proprietà. Effettivamente ciò corrisponde a verità, in quanto la funzione esponenziale di base
[math]b[/math]
è iniettiva, e quindi non esistono due
[math]x[/math]
diversi tali che
[math]x^b=a[/math]

Definizione di logaritmo

Osservazione 2: Dalla definizione di logaritmo, risulta che la base

[math]b[/math]
di un logaritmo deve consistere in un numero reale positivo differente da 1. Questa richiesta, a prima vista complicata, è facilmente spiegata osservando che, sempre per la definizione, deve valere

[math]b^x=a[/math]
: visto allora che
[math]b[/math]
deve essere anche la base di una funzione esponenziale, i valori negativi vanno eliminati a causa di come è definita quest'ultima.

Se invece fosse

[math]b=1[/math]
, avremmo che
[math]a=1^x=1[/math]
indipendentemente dal valore di
[math]x[/math]
, ovvero il nostro logaritmo si ridurrebbe alla funzione
[math]y=1[/math]
. Posto allora
[math]b>0[/math]
,
[math]b>1[/math]
può risultare o
[math]b>1[/math]
o
[math]0 > b >1[/math]
; i due grafici possibili in questi due casi per la funzione
[math]y=\log_b a[/math]
sono rappresentati nelle immagini precedenti.

Osservazione 3: La definizione di logaritmo

[math] \log_b a[/math]
richiede esplicitamente che risulti
[math]a > 0[/math]
. Ciò è dovuto alla definizione di logaritmo e alle proprietà della funzione esponenziale. Visto che infatti deve risultare
[math]b^x=a[/math]
e che la funzione esponenziale di base
[math]b[/math]
assume valori solo in
[math]\mathbb{R}^+[/math]
, necessariamente il valore di
[math]a[/math]
sarà positivo.

Osservazione 4: Il legame tra funzione esponenziale e logaritmo si può anche visualizzare nel modo che segue.
Si consideri il grafico già noto relativo alla funzione esponenziale di base

[math]b[/math]
(nell'immagine seguente lo si è rappresentato in rosso e si è scelto
[math]b > 1[/math]
) e la bisettrice del primo e terzo quadrante (in viola nel grafico). Riflettendo detto grafico rispetto alla retta data si ottiene il nuovo grafico in blu: esso è il grafico della funzione
[math]y=\log_b a[/math]
, ovvero del logaritmo.

Le proprietà dell'esponenziale valgono riflesse per il logaritmo: se l'esponenziale:

  • è definita su tutto
    [math]\mathbb{R}[/math]
    ,
  • assume valori in
    [math]\mathbb{R}^+[/math]
    ,
  • passa per il punto
    [math](0, 1)[/math]
  • tende a
    [math]0^+[/math]
    per
    [math]x \rightarrow -\infty [/math]

il logaritmo:

  • assume valori in tutto
    [math]\mathbb{R}[/math]
  • è definito su
    [math]\mathbb{R}^+[/math]
  • passa per il punto
    [math](1, 0)[/math]
  • tende a
    [math]-\infty[/math]
    per
    [math]x \rightarrow 0^+[/math]

In particolare ciò significa che, poiché l'esponenziale possiede un asintoto orizzontale, il logaritmo ne ha uno verticale.

Un legame di questo tipo tra i grafici di queste due funzioni è dovuto al fatto che esse sono una la funzione inversa dell'altra. Nella figura in basso puoi osservare entrambi i tipi di grafici logaritmici.

Grafici delle funzioni esponenziale e logaritmo

Per ulteriori approfondimenti sulla funzione logaritmica vedi anche qua

Esempi elementari di calcolo di logaritmi

Esempio 1: Proviamo a calcolare il valore di
[math]x=\log_b 1[/math]
. Come richiesto dalla definizione di logaritmo, per risolvere questo problema dovremo trovare quel valore, che esiste ed è unico in virtù dell'osservazione 1, tale che
[math]b^x=1[/math]
.
Indipendentemente da quale sia la base
[math]b[/math]
, sappiamo che elevandola alla 0 otterremo 1, cioè
[math]b^0=1[/math]
,
[math]\forall b[/math]
. Quindi il risultato sarà
[math]\log_b 1=0[/math]
. In effetti, l'osservazione 4 ci assicurava già che il grafico del logaritmo passa per il punto
[math](1,0)[/math]
quale che sia la base
[math]b[/math]
, cosicché il risultato era in effetti banale.

Esempio 2: Calcoliamo adesso

[math]\log_b b[/math]
. Adoperando ancora la definizione, sappiamo che il numero ricercato deve essere tale che
[math]b^x=b[/math]
. Com'è noto già dalle proprietà delle potenze, l'elevazione di un numero qualsiasi alla 1 ci restituisce il numero stesso; dunque certamente
[math]\log_b b=1[/math]
per ogni
[math]b[/math]
.

Esempio 3: Utilizzando sempre lo stesso metodo, è possibile verificare i seguenti risultati:

[math] x=\text{Log} 1000\rightarrow x=log_{10}1000\rightarrow 10^x=1000=10^3\rightarrow x=3 [/math]

[math] x=ln \sqrt{e} \rightarrow x = log_e \sqrt{e} \rightarrow e^x = \sqrt{e} = e^{1/2} \rightarrow x = frac{1}{2} [/math]

Esempio 4: Proviamo infine a calcolare il valore di

[math]x=\\log_{2}3[/math]
. Se come al solito ricorriamo alla definizione, scopriamo solo che
[math]2^x=3[/math]
.
Ciò non ci è di grande aiuto, visto che non conosciamo alcun numero
[math]x[/math]
"semplice" che verifichi questa equazione.

Infatti, comunque eleviamo 2 a un numero naturale, otteniamo sempre un numero pari, ed essendo 3 dispari l'uguaglianza non può mai valere.

D'altro canto la funzione esponenziale è definita su tutto

[math]\mathbb{R}[/math]
, quindi una soluzione deve necessariamente esistere. Visto che non la conosciamo con precisione, possiamo quanto meno tentare di approssimarla: visto allora che
[math]2 > 3 > 4[/math]
, è lecito scrivere:

[math]2^1 > 2^x>2^2[/math]

Questo, unitamente al fatto che la funzione esponenziale è crescente, ci assicura che la

[math]x[/math]
da noi ricercata appartiene all'intervallo
[math](1, 2)[/math]
; in effetti usando una calcolatrice scientifica risulta che
[math]x\approx 1.585[/math]
, e quindi la nostra stima è corretta.

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi, vedi anche qua

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