Monotonia di una funzione: definizione e caratteristiche

In questo appunto di Analisi Matematica tratteremo il concetto di Monotonia di una Funzione, partendo dal concetto di derivata per poi capirne meglio il significato e l’applicazione pratica attraverso opportuni esempi.

Che cosa si intende per monotonia di una funzione?

In Analisi Matematica, quando parliamo del concetto di Monotonia di una funzione, è necessario fare riferimento alla derivata di tale funzione, in quanto questi sono strettamente correlati.

Le cosiddette funzioni monotone sono state dapprima definite in analisi e, successivamente, generalizzate nell'ambito della teoria dei tre ordini. Anche se la terminologia è un po' differente, i concetti di monotonia nelle due discipline sono effettivamente gli stessi; in particolare, in analisi si parla di funzione monotona crescente e decrescente, mentre nella teoria degli ordini si parla di funzione monotona e antitona oppure di order-preserving (=che conserva l'ordine) e order-reversing (=che inverte l'ordine).
Trattandosi di un appunto di analisi matematica, è opportuno in questo caso fare riferimento alla definizione utilizzata in analisi, ovvero:
Sia

, (si legge: f è una funzione definita in A e a valore in B) una funzione tra due insiemi

e

, entrambi dotati di ordinamento parziale, denotato col simbolo

per entrambi gli insiemi.
La funzione

si dice monotona se, per ogni

segue che

. Ovvero, detto in altri termini, una funzione monotona conserva l'ordinamento.
Solitamente in analisi matematica le funzioni operano tra sottoinsiemi dei numeri reali, ovvero

e

; i numeri reali, a differenza di quelli astratti, sono ordinati secondo l'ordinamento naturale (1 Definita la funzione monotona, nel prossimo paragrafo vedremo qual è la differenza tra funzione monotona crescente e decrescente.

Funzione monotona crescente e decrescente

Trattandosi di una funzione matematica, facciamo adesso riferimento alla sua rappresentazione grafica in un diagramma cartesiano. In particolare, data una funzione

, possiamo dire che

è una funzione monotona:

• Crescente se
  [math] \forall x_1 \leq x_2[/math]
  con
  [math] x_1,x_2 \in \Re[/math]
  segue che
  [math]f(x_1) \leq f(x_2)[/math]
  ;
• Decrescente se
  [math] \forall x_1 \leq x_2[/math]
  con
  [math] x_1,x_2 \in \Re[/math]
  segue che
  [math]f(x_1) \geq f(x_2)[/math]
  ;[/ li]
  

In pratica, se la funzione è monotona crescente si mantiene l’ordinamento, viceversa se è monotona decrescente si inverte l'ordinamento.
Inoltre, se nella relazione d'ordine si ha

oppure

, allora la relazione di monotonia è sostituita da quella d'ordine stretto. Ovvero, data una funzione

, possiamo dire che

è una funzione monotona:

• Strettamente Crescente se
  [math] \forall x_1 > x_2[/math]
  con
  [math] x_1,x_2 \in \Re[/math]
  segue che
  [math]f(x_1) > f(x_2)[/math]
  ;
• Strettamente Decrescente se
  [math] \forall x_1 > x_2[/math]
  con
  [math] x_1,x_2 \in \Re[/math]
  segue che
  [math]f(x_1) > f(x_2)[/math]
  ;

Cioè vale esattamente quanto detto prima, solo che in questo caso si ha una proprietà-relazione più forte di quella precedente. Inoltre, le funzioni strettamente crescenti o decrescenti anche Funzioni iniettive in quanto

implica che

, ognuno con un’immagine differente nel codominio.
Inoltre, in alcuni testi è possibile trovare anche il termine non crescente o non strettamente crescente al posto di decrescente o non strettamente decrescente, rispettivamente, per evitare ogni possibile fraintendimento.
Compreso il concetto di Monotonia di una funzione, nel prossimo paragrafo vedremo come poterlo collegare al concetto di derivata.

Relazione tra monotonia e derivata di una funzione

Bisogna sottolineare che si può dire solamente se una funzione è monotona, ma non si può specificare se essa è crescente o decrescente in generale. Infatti, spesso la funzione non ha sempre lo stesso andamento su tutto il suo dominio; ovvero, non sappiamo se la funzione sarà sempre crescente o sempre decrescente sul tutto il dominio. Fortunatamente, mediante lo studio del segno della derivata di una funzione

è possibile conoscerne la monotonia, ovvero se è crescente o decrescente in tutto il suo intervallo di definizione oppure solo in un determinato intervallo (che sia singolo o ripetuto), o se ci sono anche eventuali punti in cui la funzione non è né crescente né decrescente.
Si tratta quindi di una condizione sufficiente che ci garantisce di determinare quando una funzione è crescente e/o decrescente. Vediamo in che modo:
Sia

una funzione definita e continua su un intervallo

, se

è inoltre derivabile in ogni punto interno di

, allora possiamo dire che:

• se
  [math]f’(x)\geq 0 ∀ x ∈ I [/math]
  allora
  [math]f[/math]
  è una funzione monotona crescente;
• se
  [math]f’(x)\leq 0 ∀ x ∈ I [/math]
  allora
  [math]f[/math]
  è una funzione monotona decrescente.

In pratica quello che dobbiamo fare per capire se una funzione è monotona crescente o decrescente, è quello di, una volta calcolata la derivata, studiarne il segno, ovvero stabilire dove (in quali intervalli) la derivata della funzione assume valori positivi e dove negativi. Per quanto detto prima, la soluzione della disequazione

indicherà gli intervalli dove la funzione ha derivata positiva, negativa o nulla. In quest’ultimo caso infatti, quando

la funzione non è monotona.
A questo punto, compreso il concetto di monotonia, potete consultare gli appunti presenti nel prossimo paragrafo per avere un quadro completo ed esaustivo sull’argomento trattato.

Approfondimenti sulle funzioni

Per ulteriori approfondimenti di quanto trattato nei paragrafi precedenti, si consiglia la lettura dei seguenti appunti:

• Funzione iniettiva e suriettiva
• Funzione
• Studio della derivata di una funzione