Derivata di una funzione: teoria

La derivata di una funzione

La derivata è definita dal punto di vista matematico come il limite del rapporto incrementale per Δx che tende a 0, ovvero: limx->0 (Δx/Δy), che spesso si scrive nella forma limh->0 [f(c+h)-f(c)]/h = f’(c) (dove h = (c+h)-c). Il rapporto incrementale è il rapporto tra l’incremento delle ordinate e l’incremento delle ascisse. Considerata la funzione y=f(x) definita nell’intervallo [a ; b] e considerati il punto A con xA=c e yA=f(c) e il punto B con xB=(c+h) e yB=f(c+h), il rapporto incrementale è descritto matematicamente dalla relazione:
m = [(yB-yA)/(xB-xA)] = (Δy/Δx) = [f(c+h)-f(c)]/[(c+h)-c] = [(f(c+h)-f(c))/h], dove
• Δx indica l’incremento della variabile indipendente da xA a xB,
• Δy indica l’incremento della variabile dipendente da yA a yB,
• c=xA ; c+h=xB ; f(c)=yA ; f(c+h)=yB ; h=Δx.
Inoltre il coefficiente angolare m della retta passante per i punti A e B, che indica l’inclinazione/pendenza della retta, è definito come m = senα/cosα, ovvero m = tgα, dove α è l’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x. Perciò dal punto di vista geometrico, la derivata rappresenta il valore numerico del coefficiente angolare Dell retta tangente al grafico della funzione in un punto appartenente alla funzione.
Una funzione si dice derivative in un punto c se