Numeri relativi: definizioni e regole di calcolo

In questo appunto tratteremo la definizione di numero relativo e vedremo come effettuare correttamente le operazioni tra numeri relativi, cioè addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Introdurre il concetto di numero relativo si mostra necessario poiché non tutti i numeri sono positivi (o nulli)!

Numeri relativi

Un numero relativo è un numero composto da due "parti", è infatti composto da un segno

[math] (+, -) [/math]

e da un valore assoluto (detto anche modulo).
Se il modulo del numero in questione è un numero intero, allora parleremo, più specificatamente di interi relativi. Per approfondimenti sui numeri interi relativi, vedi anche qua.

Valore assoluto

Il valore assoluto di è una funzione che restituisce se , altrimenti se . Questa definizione, apparentemente complicata, può essere "sintetizzata" in una definizione forse meno formale: il valore assoluto di un numero è pari al numero ottenuto senza tenere conto del segno. Il valore assoluto di si indica con , e diremo quindi, ad esempio, in base a quanto abbiamo affermato prima, che oppure che .

Per ulteriori approfondimenti sul valore assoluto vedi anche qua.

Classificazione dei numeri relativi

I numeri relativi possono essere classificati in varie categorie in base alle loro caratteristiche, in particolare diremo che:

• Due numeri aventi lo stesso segno (e non necessariamente lo stesso valore assoluto) sono detti concordi. Ad esempio,
  [math] -5, -6 [/math]
  sono concordi in quanto entrambi negativi, così come
  [math] +3, +2 [/math]
  , ma
  [math] -1, +1 [/math]
  non sono concordi.
• Due numeri aventi diverso segno (e non necessariamente lo stesso valore assoluto) sono detti discordi. Ad esempio
  [math] -4, +3 [/math]
  sono discordi, così come
  [math] +2, -1 [/math]
  , ma
  [math] +3, +2 [/math]
  non sono discordi.
• Due numeri aventi diverso segno, ma stesso valore assoluto sono detti opposti. Ad esempio
  [math] +7, -7 [/math]
  sono opposti, ma
  [math]+3, -2[/math]
  non sono opposti, bensì semplicemente discordi.
• Due numeri aventi stesso segno e stesso valore assoluto sono detti uguali. Ad esempio
  [math]+3, +3[/math]
  sono uguali, ma non
  [math]+5, +2[/math]
  .

Nei paragrafi successivi vedremo come operare tra i numeri relativi.

Addizione

Per effettuare la somma di due numeri relativi bisogna vedere prima che relazione hanno. Infatti:

• La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo concorde avente per valore assoluto la somma dei valori assoluti: ad esempio
  [math] +2+3 = +5, -3-6 = -9 [/math]
  .
• La somma di due numeri relativi discordi è invece un numero relativo avente per segno il segno del numero con valore assoluto maggiore, e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti: ad esempio
  [math] -5 + 7 = +2 [/math]
  .
• La somma di due numeri relativi opposti è sempre 0:
  [math] +5 -5 = 0 [/math]

Sottrazione

Per quanto riguarda la sottrazione, ci si può ricondurre con alcuni passaggi algebrici molto semplici all'addizione. Basta quindi andare poi a riguardare le regole citate sopra.
In generale, la differenza tra due numeri relativi si ottiene addizionando il primo per l'opposto(segno) del secondo: ad esempio, se si vuole calcolare allora questo calcolo è equivalente a trovare il risultato di . Utilizzando la regola per sommare due numeri relativi discordi, otteniamo che il risultato è, in valore assoluto, uguale a e dotato di segno negativo. In definitiva, possiamo affermare che .

Moltiplicazione (o prodotto)

Per la moltiplicazione, il discorso cambia leggermente, perché va seguita la cosiddetta regola dei segni. Sono semplicemente quattro segni da ricordare, a seconda della moltiplicazione tra due numeri discordi (o concordi).
In sintesi vale:

• [math] + \times + = + [/math]
• [math] + \times - = - [/math]
• [math] - \times + = - [/math]
• [math] - \times - = + [/math]

Oppure, in generale, basta ricordare che il prodotto tra due relativi discordi è un numero negativo, il prodotto tra due relativi concordi è un numero positivo.
Ad esempio, diremo che e che , sempre seguendo la classica regoletta del prodotto dei segni.

Divisione

Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti dei due numeri. Per determinarne il segno, è sufficiente seguire la regola dei segni già enunciata nella spiegazione del prodotto tra numeri relativi. Ovviamente, è necessario assumere che il divisore sia non nullo, in quanto la divisione per 0 non è mai possibile!.
Sulla base di quanto detto, diremo quindi che, ad esempio , oppure che .
In effetti, effettuando l'operazione inversa in entrambi i casi (ossia trasformando la divisione in moltiplicazione) si ottiene il dividendo di partenza. Difatti e inoltre .