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Equazioni logaritmiche

Cos'è un'equazione logaritmica? E come si risolve? Beh, anzitutto un'equazione logaritmica è un'equazione che presenta dei logaritmi al suo interno. E come si risolve?
Per risolverla, indicativamente, vanno seguiti questi semplici punti:
1) Determinare le CE (condizioni di esistenza) dell'equazione. Riferendosi alle proprietà dei logaritmi, troviamo che un logaritmo esiste se la base è >1 e ≠0 e se l'argomento è >0.
2) Portare l'equazioni in una di queste 2 forme:
    -
    [math]log_a(f(x)) = log_a(g(x))[/math]
    , uguaglianza tra logaritmi con base uguale;
    -
    [math]log_a(f(x)) = b[/math]
    , uguaglianza tra un logaritmo e un numero qualsiasi.
3) Risolvere usando le proprietà dei logaritmi, sfruttando talvolta la regola del cambio base e/o del cambio variabile.

Ma facciamo qualche esempio così capiamo come agire.

[math]log_3(2x-4) = log_3(x-3)[/math]
.
Per prima cosa determiniamo le CE. Dunque verifichiamo anzitutto le basi. Possiamo notare che entrambe sono 3, ossia un numero >1 e ≠0, perciò vanno bene. Poniamo ora gli argomenti maggiori di 0 e mettiamoli a sistema:
[math]\begin{cases} 2x-4 > 0 \\ x-3 > 0
\end{cases} \to \begin{cases} x > 2 \\ x > 3
\end{cases}[/math]
.
Costruiamo il grafico e troviamo dunque il campo di esistenza:
CE: x>3
Andiamo avanti. Ora dobbiamo portare l'equazione ad una delle due forme descritte sopra, ma notiamo che è già alla prima forma, poichè le basi sono uguali. Dunque, usando le proprietà dei logaritmi (
[math]log_a(f(x)) = log_a(g(x)) \to f(x) = g(x)[/math]
) trasformiamo:
[math]log_3(2x-4) = log_3(x-3) \to 2x-4 = x-3 \\
2x-x = 4-3 \to x=1[/math]
A questo punto confrontiamo con le CE. Poichè 1 è minore di 3, l'equazione non esiste.

Esempio n. 2

[math]log_9(x)+log_{27}(x) = \frac{5}{6}[/math]
.
Troviamo le CE ponendo gli argomenti >0 (dato che tutte le basi sono >1 e ≠0) e troviamo che l'equazione è verificata per ogni x>0.
Ora usiamo le regole del cambio base (
[math]log_a(b) = \frac{log_c(b)}{log_c(a)} [/math]
dove c è la base comune) per portare l'equazione ad una forma che abbiamo esposto prima:
[math]log_9(x) + \frac{log_9(x)}{log_9(27)} = \frac{5}{6}[/math]
.
Porto il denominatore sotto forma di potenze di 3
[math]=log_9(x) + \frac{log_9(x)}{log_{3^2}(3^3)} = \frac{5}{6}[/math]
.
Usiamo ora la proprietà
[math]log_{a^x}(b^y) = \frac{y}{x}[/math]
:
[math]log_9(x) + \frac{log_9(x)}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{6}[/math]
.
Per le proprietà delle frazioni
[math]\frac{x}{\frac{y}{z}} = \frac{x \cdot z}{y}[/math]
. Dunque, trasformiamo e svolgiamo l'addizione (sarebbe come fare x+2/3x. Basta risolvere portando a denominator comune e ricordarsi che in questo caso x= log9(x)).
[math]log_9(x) + \frac{2log_9(x)}{3} = \frac{5}{6} \\
\frac{5}{3}log_9(x)=\frac{5}{6}[/math]
.
Siamo quasi arrivato alla seconda forma mostrata in precedenza. Ma serve ancora levare quel 5/3 prima del logaritmo; perciò moltiplichiamo ambo i membri per 3/5 e svolgiamo semplificando ove possibile:
[math](\frac{3}{5})\frac{5}{3}log_9(x)=\frac{5}{6}(\frac{3}{5}) \\
log_9(x) = \frac{1}{2}[/math]
.
Ora siamo arrivati alla seconda forma mostrata in precedenza. Usando questa proprietà, semplifichiamo:
[math]log_a(b) = c \to b = a^c[/math]
:
[math]x = 9^{\frac{1}{2}} \\
x = 3[/math]
.
Confronto la soluzione con le CE e noto che è accettabile.

Esempio n. 3

[math]log_{10}^2(x)-11log_{10}(x)+10=0[/math]
.
Determiniamo le CE. CE: x>0
per risolvere questa equazione è necessario usare la regola del cambio variabile. Dunque uso una variabile ponte (t) pongo t = log10(x). Dunque:
[math]t^2-11t+10=0[/math]
.
Riconosco un'equazione di secondo grado spuria e la risolvo, trovando le due soluzioni
[math]t_1 = 1, t_2 = 10[/math]
.
Ritorino a t = log10(x) e ottengo:
[math]log_{10}(x) = 1 \\ log_{10}(x) = 10[/math]
.
Come prima uso la proprietà
[math]log_a(b) = c \to b = a^c[/math]
e risolvo ambo i logaritmi trovando così le due soluzioni possibili (che andranno poi ovviamente confrontate con le CE):
[math]log_{10}(x) = 1 \to x = 1^{10} \to x=1\\ log_{10}(x) = 10 \to x = 10^{10}[/math]
.
Verifico con le CE e noto che i risultati sono accettabili.
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