Equazioni logaritmiche: formule ed esercizi

In questo appunto vengono approfondite le equazioni logaritmiche (le equazioni che contengono un temine con un’incognita contenuta in un logaritmo), viene fornita una definizione di tali equazioni e viene spiegato il procedimento da seguire per risolverle, con esempi numerici. Per comprendere meglio tale risoluzione è utile ripassare prima le caratteristiche principali della funzione logaritmica.

La funzione logaritmica

La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale, il logaritmo si esprime nella seguente forma funzionale:

Dove a prende il nome di base del logaritmo, b è l’argomento del logaritmo.

La definizione di logaritmo afferma che il logaritmo (c) corrisponde all’esponente da dare alla base (a) per ottenere l’argomento (b), ciò equivale ad affermare che:

La funzione logaritmica è quindi una funzione in cui l’incognita x compare all’interno dell’argomento del logaritmo:

In genere se non si specifica la base del logaritmo si assume che per log(x) la base è 10 mentre per ln(x) la base è "e" (il numero di Nepero), tale convenzione può essere diversa a seconda dei casi quindi prima di svolgere un esercizio è sempre consigliato controllare la convenzione adottata.

Il dominio del logaritmo è che l’argomento deve essere positivo mentre la base deve essere positiva e diversa da 1, ciò riscritto in formule e considerando la funzione

, equivale a:

Dato che la funzione logaritmica è la funzione inversa dell’esponenziale, il grafico della funzione inversa quindi il grafico del logaritmo può essere ottenuto facendo il simmetrico del grafico della funzione logaritmica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Data una funzione logaritmica caratterizzata da una certa base, è possibile eseguire il cambio di base della funzione considerata utilizzando la seguente regola:

In conclusione la funzione logaritmica è la funzione che associa ad ogni valore di x, il valore del logaritmo di x.

Per ulteriori approfondimenti sul numero di Nepero vedi anche qua

Equazioni logaritmiche

Cos'è un'equazione logaritmica? E come si risolve? Beh, anzitutto un'equazione logaritmica è un'equazione che presenta dei logaritmi al suo interno. E come si risolve?
Per risolverla, indicativamente, vanno seguiti questi semplici punti:

1. Determinare le CE (condizioni di esistenza) dell'equazione. Riferendosi alle proprietà dei logaritmi, troviamo che un logaritmo esiste se la base è >1 e ≠0 e se l'argomento è >0.
2. Portare l'equazioni in una di queste 2 forme:
   
   -
   [math]log_a(f(x)) = log_a(g(x))[/math]
   , uguaglianza tra logaritmi con base uguale;
   -
   [math]log_a(f(x)) = b[/math]
   , uguaglianza tra un logaritmo e un numero qualsiasi.
   
3. Risolvere usando le proprietà dei logaritmi, sfruttando talvolta la regola del cambio base e/o del cambio variabile.

Ma facciamo qualche esempio così capiamo come agire.

.
Per prima cosa determiniamo le CE. Dunque verifichiamo anzitutto le basi. Possiamo notare che entrambe sono 3, ossia un numero >1 e ≠0, perciò vanno bene. Poniamo ora gli argomenti maggiori di 0 e mettiamoli a sistema:

.
Costruiamo il grafico e troviamo dunque il campo di esistenza.
CE: x>3
Andiamo avanti. Ora dobbiamo portare l'equazione ad una delle due forme descritte sopra, ma notiamo che è già alla prima forma, poichè le basi sono uguali. Dunque, usando le proprietà dei logaritmi (

) trasformiamo:

A questo punto confrontiamo con le CE. Poichè 1 è minore di 3, l'equazione non esiste.

Esempio n. 2

.
Troviamo le CE ponendo gli argomenti >0 (dato che tutte le basi sono >1 e ≠0) e troviamo che l'equazione è verificata per ogni x>0.
Ora usiamo le regole del cambio base (

dove c è la base comune) per portare l'equazione ad una forma che abbiamo esposto prima:

.
Porto il denominatore sotto forma di potenze di 3

.
Usiamo ora la proprietà

:

.
Per le proprietà delle frazioni

. Dunque, trasformiamo e svolgiamo l'addizione (sarebbe come fare x+2/3x. Basta risolvere portando a denominator comune e ricordarsi che in questo caso x= log9(x)).

.
Siamo quasi arrivato alla seconda forma mostrata in precedenza, ma serve ancora levare quel 5/3 prima del logaritmo; perciò moltiplichiamo ambo i membri per 3/5 e svolgiamo semplificando ove possibile:

.
Ora siamo arrivati alla seconda forma mostrata in precedenza. Usando questa proprietà, semplifichiamo:

:

.
Confronto la soluzione con le CE e noto che è accettabile.

Esempio n. 3

.
Determiniamo le CE. CE: x>0
Per risolvere questa equazione è necessario usare la regola del cambio variabile. Dunque uso una variabile ponte (t) pongo t = log10(x). Dunque:

.
Riconosco un'equazione di secondo grado spuria e la risolvo, trovando le due soluzioni

.
Ritorino a t = log10(x) e ottengo:

.
Come prima uso la proprietà

e risolvo ambo i logaritmi trovando così le due soluzioni possibili (che andranno poi ovviamente confrontate con le CE):

.
Verifico con le CE e noto che i risultati sono accettabili.

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà del logaritmo vedi anche qua